Question

（2013?东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；

（2013?东营）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

Answer 1

解答：解：（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1，
∴a＝?

1

4

，
∴抛物线的解析式为y＝?

1

4

(x?2)2．
即y＝?

1

4

x2+x?1．

（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴

OB

AD

＝

OA

CD

∴OB?CD=OA?AD．
即1?|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵点C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由

y＝?2x+4 y＝? 1 4 x2+x?1

，
解得

x1＝10 y1＝?16

，

x2＝2 y2＝0

．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为 （10，-16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=

1

2

（OB+CD）=

17

2

．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-

17

2

）．
故点P坐标为（5，-

17

2

）．

（3）如图2，设点N的坐标为（t，-

1

4

t²+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
S△BMN＝

1

2

MN?t，S△CMN＝

1

2

MN?(10?t)，
所以S△BCN＝S△BMN+S△CMN＝

1

2

MN×10，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16），
所以

b＝?1 10k+b＝?16

成立，
解得：

k＝? 3 2 b＝?1

，
所以直线BC的解析式为y＝?

3

2

x?1，则点M的坐标为（t，-

3

2

t-1），
MN=(?

1

4

t2+t?1)?(?

3

2

t?1)=?

1

4

t2+

5

2

t，
S△BCN＝

1

2

(?

1

4

t2+

5

2

t)×10，
=?

5

4

t2+

25

2

t
=?

5

4

(t?5)2+

125

4

，
所以，当t=5时，S_△BCN有最大值，最大值是

125

4

．