Question

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE=1

如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①∠OBE=12∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正确的是（　　）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

Answer 1

①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，DO=BO=

1

2

BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中点，
∴∠OBE=

1

2

∠OBC，
∴∠OBE=

1

2

∠ADO，故①正确；
②∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G为AB中点，
∴EG=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF=

1

2

CD，
∴EG=EF，故②正确；
③∵EF∥DC，DC∥AB，
∴EF∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正确；
④如果EF⊥EG，
则∠FEG=90°，
∵EF∥AB∥CD，
∴∠AGE=90°，
∴?ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴GE∥AD，
∵G为AB中点，
∴E也应是AC中点，即C与O重合，
与题目条件E是OC中点互相矛盾，故④错误；
故选：A．