Question

设函数f(x)=x²e∧x,则f(0)的n阶导数为多少 谢谢

Answer 1

f(x)
=
u(x)v(x)
u(x)
=
x^2
v(x)
=
e^2x
u'(x)
=
2x
,
u''(x)
=
2
,
u'''(x)
=0
,
u的n（n≥3）阶导数为零；
v'
=
2e^(2x)
,
v''
=
2^2e^(2x)
,
v'''
=
2^3e^(2x)
,
v的n阶导数为2^ne^(2x)
根据莱布尼兹公式，f(x)的n阶导数为：
f(n)(x)
=
∑c(m,n)[u(m)(x)][v(n-m)(x)]
c(m,n)为组合数
则f(10)(x)
=
c(0,10)u(0)(x)v(n)(x)
+
c(1,10)u(1)(x)v(n-1)(x)
+
c(2,10)u(2)(x)v(n-2)(x)
因为n≥3时，u(x)导数为零
故有
f(10)(x)
=
(2^10)(x^2)e^(2x)
+
10(2x)(2^9)e^(2x)
+
45×2(2^8)e^(2x)
=
[(2^10)(x^2)
+
10x2^10
+
45×2^9]e^(2x)
=(2x^2
+
65)(2^9)e^(2x)

Answer 2

f(x)=x²e^x
=x²[1+x+(1/2!)x²+(1/3!)x³+...+(1/n!)x^n+...]
=x²+x³+(1/2!)x^4+(1/3!)x^5+...+(1/n!)x^(n+2)+...
另：由泰勒展开得
f(x)=f(0)+f
'(0)x+[f
''(0)/2!]x²+...+[f^(n)(0)/n!]x^n+...
两式比较x^n项，得：
f^(n)(0)/n!
=
[1/(n-2)!]
因此：f^(n)(0)=n!/(n-2)!=n(n-1)
【
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