Question

微分方程特解？

有点迷

Answer 1

特解一般存在于形如方程这样的二阶常系数线性非齐次微分方程里。

当f(x)=0时，该式称为二阶常系数线性齐次微分方程，其特解为0。

当f(x)≠0时，该式称为二阶常系数非线性齐次微分方程。由于f(x)的形式不同，其特解的形式也不同。
从上面的描述不难看出线性齐次方程是非线性齐次方程的一种特殊形式。对于线性齐次方程的求法大家都很熟悉，其解法是将二阶常系数线性齐次微分方程化为一元二次代数方程，其解可根据对应的特征方程根的不同情况求出。

求一个二阶常系数齐次非线性方程的一般步骤主要分为四步：

(1)求特征根：将对应的线性齐次微分方程化为特征方程(自变量y的几阶导就是r的几次方)。例如的对应特征方程为。

(2)求线性齐次方程的通解：根据特征方程的不同，其结果不同。a.若p2-4q>0，设λ1，λ2是特征方程的两个不等实根，即λ1≠λ2，可得其通解为

b.若p2-4q=0，设λ1，λ2是特征方程的两个相等实根，即λ1=λ2，可得其通解为

c.若p2-4q<0，设α±βi是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为

(3)求非线性齐次方程的特解y*
(详解见下个板块）
(4)写出常系数齐次非线性方程的通解。
由(2)(3)求出的
齐次线性方程的通解和特解
将其代入得：
非线性齐次方城的通解
=齐次线性方程的通解+特解。