Question

e^(1/x)有原函数吗?

Answer 1

这个没有原函数。
已经知道 ∫(e^x/x)dx 不能表示为初等函数。
令 t = 1/x, 则
I =∫e^td(1/t) = e^t/t - ∫(e^t/t)dt,
不能表示为初等函数, 故
e^(1/x) 的原函数不能表示为初等函数。

Answer 2

解：设：原函数为f(x)依题意和已知，有：f(x)=∫[(e^x)/x]dx 这是一个超越积分，没有有限的解析式。楼主如果一定要做的话，可以对e^x进行泰勒展开∫[(e^x)/x]dx= ∫{∑[n=(0,∞)]x^(n)/(n!))/x}dx= ∫ ( 1 + Σ[n=(1,∝)] x^(n)/(n!) ) / x dx= ∫ ( 1/x + Σ[n=(1,∝)] x^(n-1)/(n!) ) dx= lnx + Σ[n=(1,∝)] x^n/[n*(n!)] + C，C∈R这是一个无限解析式

Answer 3

已经知道 ∫(e^x/x)dx 不能表示为初等函数。
令 t = 1/x, 则
I =∫e^td(1/t) = e^t/t - ∫(e^t/t)dt,
不能表示为初等函数, 故
e^(1/x) 的原函数不能表示为初等函数。

Answer 4

e^(1/x)=e^(-x)
∫e^(-x)dx=-∫e^(-x)d(-x)=-e^(-x)+C