Question

高数。 计算一个式子的极限时，例如lim(x→0)A*B*C和lim(x→0)(A+B)/C，当计

高数。
计算一个式子的极限时，例如lim(x→0)A*B*C和lim(x→0)(A+B)/C，当计算到某一步时发现c可知，例如得1，那么这个时候可以将c=1代入后接着化简含A,B的式子吗？请说说依据

Answer 1

可以。
乘除结构中，如果某个因式的极限存在且非零，可以先计算出来，这是由极限运算法则决定的。比如lim f(x)*g(x)，如果lim f(x)=A≠0，那么lim g(x)存在时就有lim f(x)*g(x)=lim f(x)*lim g(x)；如果lim g(x)=∞，那么lim f(x)*g(x)=∞；如果lim g(x)不存在也不是∞，那么lim f(xx)*g(x)也不存在也不是∞（否则由lim f(x)*g(x)存在，根据g(x)=f(x)*g(x)/f(x)可知lim g(x)也存在，矛盾）。
你所写的两个式子都符合上面所述。

追问

为什么非得是非零极限才可带入呢？极限运算法则不是要求两个极限都存在时才可这样运算吗，只知道一个不知道另一个能这样算吗

另外在问一个，就是(A+B)/C的式子中如果B已知比如等于1，那么可以代入后接着计算吗？等于0呢？

追答

上面不是分析了嘛，第二个极限不存在，则整个极限也不存在，第二个极限存在就用函数相乘的极限运算法则。之所以强调第一个极限必须存在且非零，是因为会出现0/0，0*∞等结构，这是未定式，极限需进一步讨论。
在和式(A+B)/C，不能先把B的极限计算为1。