Question

第6小题。

Answer 1

令y'=p
y''=dp/dy ·y'
=pdp/dy
pdp/dy+p²=1
p/(1-p²)dp=dy
∫p/(1-p²)dp=∫dy
-1/2ln(1-p²)=y+c1
x=0,y=0,p=0代入，得
0=0+c1
c1=0
-1/2ln(1-p²)=y
1-p²=e^(-2y)
y'²=1-e^(-2y)
y'=±√(1-e^(-2y))
±1/√(1-e^(-2y)) dy=dx
±e^y/√(e^2y-1) dy =dx (不妨以正的为例)

积分，得
ln|e^y+√(e^2y -1)|=x+lnc2
e^y+√(e^2y -1)=c2e^x
1=c2
所以
特解为：e^y+√(e^2y -1)=e^x

追问

老师 e^y/(√e^2y-1)dy=dx 是怎么来的？