设f(x)在x=a处有二阶导数,且f'(a)不等于0,求: lim{1/[f(x)-f(a)]-1/[(x-a)f'(a)]}. x→a
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当x→a时,f(x)-f(a)~(x-a)f'(a) (等价无穷小)
lim{1/[f(x)-f(a)]-1/[(x-a)f'(a)]}
=lim{(x-a)f'(a)-[f(x)-f(a)]}/[f(x)-f(a)](x-a)f'(a)
=lim{(x-a)f'(a)-[f(x)-f(a)]}/(x-a)^2[f'(a)]^2
=lim[f'(a)-f'(x)]/2(x-a)[f'(a)]^2 (罗必达法则)
=-f''(a)/2[f'(a)]^2
lim{1/[f(x)-f(a)]-1/[(x-a)f'(a)]}
=lim{(x-a)f'(a)-[f(x)-f(a)]}/[f(x)-f(a)](x-a)f'(a)
=lim{(x-a)f'(a)-[f(x)-f(a)]}/(x-a)^2[f'(a)]^2
=lim[f'(a)-f'(x)]/2(x-a)[f'(a)]^2 (罗必达法则)
=-f''(a)/2[f'(a)]^2
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