Question

数列求和 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)求和公式是什么或者有什么规律? 其中n>1

Answer 1

函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份,分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义,和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k),通项相等,也就是说你的式子等于上面的和式.
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2