Question

函数的对称性

Answer 1

函数的对称性：y=f（|x|）是偶函数，它关于y轴对称，y=|f（x）|是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，但无法判断是否具备对称性。例如，y=|lnx|没有对称性，而y=|sinx|却有对称性。

函数的对称性公式推导

1.对称性f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2

如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.

对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴X＝b/2a

原函数与反函数的对称轴是y＝x．

而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是X＝90还有…（2n＋！）90度等等．因为他的定义为R．

f（x）＝｜X｜他的对称轴则是X＝0，

还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．

如f（x－3）＝x－3。令t＝x－3，则f（t）＝t。可见原方程是由初等函数向右移动了3个单位。同样对称轴也向右移3个单位X＝3（记住平移是左加右减的形式，如本题的X－3说明向由移）

2，至于周期性首先也的从一般形式说起f（x）＝f（x＋T）

注意此公式里面的X都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．

同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是2π，2π，π，当然他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如f（x）＝sinX，T＝2π（T＝2π/W）

但是如果是f（x）＝｜sinx｜的话它的周期就是T＝π因为加了绝对值之后Y轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周T＝π．

y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2

y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2

上面的2个方程T＝π（T＝2π/W）

而对于≥2个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos2x因为他们有一个公共周期T＝π所以它的周期为T＝π

而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如

y=sin3πx+cos2πx，T1＝2/3，T2＝1则T＝2/3

对称函数

在对称函数中，函数的输出值不随输入变数的排列而改变。从函数的形式中可以看出若输入变数排列后，方程式不会改变。例如对于一个球体．若φ为其方位角，θ为其天顶角，r为半径，则大圆距离可以表示为

根据上述的距离公式，可以看出一些对称性，在以下变换下，距离不变：

天顶角各加某特定角度。

其方位角对调、天顶角对调，或是两者都对调。