Question

如何利用特征值计算矩阵的行列式 线性代数

Answer 1

1.A经过初等变换后可以变为对角阵，P-1AP=diag(r1,r2,...rn)，取行列式后就是|A||P-1||P|=|diag(r1,r2...rn)|，因为P的行列式和P的逆的行列式乘积为1，所以A的行列式等于特征值构成的对角阵的行列式，也就是等于特征值的成绩。

2.求|rE-A|，r是特征值，得到的特征方程可以写成(r-r1)(r-r2)...(r-rn)，常数项是r1*r2...*rn，又因为常数项等于|A|，所以A的行列式等于特征值的乘积。

扩展资料

矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式。

在线性代数中，矩阵的初等变换是指以下三种变换类型 ：

(1) 交换矩阵的两行（对调i,j，两行记为ri，rj）；

(2) 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）；

(3) 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。

矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。

Answer 2

1.A经过初等变换后可以变为对角阵，P-1AP=diag(r1,r2,...rn)，取行列式后就是|A||P-1||P|=|diag(r1,r2...rn)|，因为P的行列式和P的逆的行列式乘积为1，所以A的行列式等于特征值构成的对角阵的行列式，也就是等于特征值的成绩。
2.求|rE-A|，r是特征值，得到的特征方程可以写成(r-r1)(r-r2)...(r-rn)，常数项是r1*r2...*rn，又因为常数项等于|A|，所以A的行列式等于特征值的乘积。

Answer 3

1-s 1 0 -1 1 1-s -1 0 0 -1 1-s 1 -1 0 1 1-s 第二行加到第四行上--------> 1-s 1 0 -1 1 1-s -1 0 0 -1 1-s 1 0 1-s 0 1-s 第四行提出1-s, 1-s 1 0 -1 1 1-s -1 0 0 -1 1-s 1 0 1 0 1 然后按第一列展开 （1-s）倍的行列式 1-s -1 0 -1 1-s 1 1 0 1 再减去1倍的行列式 1 0 -1 -1 1-s 1 1 0 1 最后对这两个三阶行列式先化简一下， 对上面第一个三阶行列式，第二行减去第一行得 1-s -1 0 -2 1-s 0 1 0 1 然后按第三列展开。 对第二个三阶行列式，直接计算即可。

Answer 4

所有特征值的积等于行列式值，特征值的和等于矩阵的迹

Answer 5

矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。