一道数学智力题求解?
能不能将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10各两个,填入一排20个方框中,使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,……两个10之间夹着10个数?...
能不能将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10各两个,填入一排20个方框中,使得两个1之间夹着1个数,两个2之间夹着2个数,……两个10之间夹着10个数?
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不能。设有1,1,2,2,3,3,……,n,n共2n个整数(n对整数)排成一行,使两个1之间有一个数,两个2之间有2个数,……两个n之间有n个数.
可以证明,当n为偶数,即n=2m,在m为奇数时无解;
当n为奇数,即n=2m+1,在m为偶数(也就是m+1为奇数)时无解。
综合起来,就是当1,2,3……,n中,不重复的奇数的个数为奇数时无解。
简证如下:当2n个整数排成一行时,各数占的位置必然奇偶各半,即n奇n偶。
设不重复的偶数个数为a,奇数为b,a+b=n
偶数占位必然一奇一偶,所以a对偶数占着a个奇位和a个偶位。从而奇数所占的奇位和偶位相等,且b奇b偶。由于一对奇数占的位置必然同奇或同偶,所以要有b个奇(偶)位,必须有b÷2对奇(偶)数,即2×(b÷2)=b。
当b为奇数时,b÷2不是整数,即没有这样的奇数对适合条件,奇位的对数与偶位的对数不相等,即不可能是b奇b偶。
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可以证明,当n为偶数,即n=2m,在m为奇数时无解;
当n为奇数,即n=2m+1,在m为偶数(也就是m+1为奇数)时无解。
综合起来,就是当1,2,3……,n中,不重复的奇数的个数为奇数时无解。
简证如下:当2n个整数排成一行时,各数占的位置必然奇偶各半,即n奇n偶。
设不重复的偶数个数为a,奇数为b,a+b=n
偶数占位必然一奇一偶,所以a对偶数占着a个奇位和a个偶位。从而奇数所占的奇位和偶位相等,且b奇b偶。由于一对奇数占的位置必然同奇或同偶,所以要有b个奇(偶)位,必须有b÷2对奇(偶)数,即2×(b÷2)=b。
当b为奇数时,b÷2不是整数,即没有这样的奇数对适合条件,奇位的对数与偶位的对数不相等,即不可能是b奇b偶。
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