Question

幂级数求和

如图所示

Answer 1

在初等函数内不可积，如下

Answer 2

分享解法如下。设S(x)=∑(x^n)/n²。易得，x∈[-1,1]时，S(x)收敛；S(0)=0，S'(0)=1。
由S(x)两边对x求导，有S'(x)=∑[x^(n-1)]/n。当x≠0、S(x)在其收敛区间时，[xS'(x)]'=∑x^(n-1)=1/(1-x)。
∴xS'(x)=-ln(1-x)+C。∴S'(x)=[C-ln(1-x)]/x。显然，C=0。∴S'(x)=(-1/x)ln(1-x)。
∴S(x)=-∫ln(1-x)dx/x，x∈[-1,1]且x≠0；S(0)=0，x=0。

Answer 3

令此和函数为 y = {x^n/n^2}
y' = {x^n/n^2}' = {x^(n-1)/n} = (1/x){x^n/n}
u = {x^n/n}
u' = {x^(n-1)} = 1/(1-x), |x| < 1
0~x区域两边积分：u = -ln(1-x)
y' = -(1/x)ln(1-x)
0~x区域两边积分：y = ∫[0,x] -(1/x)ln(1-x) dx

Answer 4

k不为1时，S=k+k^2+k^3+...+k^n kS= k^2+k^3+...+k^n+k^(n+1)相减 (1-k)S=k(1-k^n)S=k(1-k^n)/(1-k)当-1<k<1时，n趋于无穷大时，即你出的题 S=k/(1-k)当k=1时，S=...