求微分方程(xy^2+y)dx-xdy=0的通解
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解：∵(xy^2+y)dx-xdy=0
==>xy^2dx+(ydx-xdy)=0
==>xdx+(ydx-xdy)/y^2=0 (等式两端同除y^2)
==>∫xdx+∫(ydx-xdy)/y^2=0 (积分)
==>x^2/2+x/y=C/2 (C是常数)
==>x^2+2x/y=C
∴此方程的通解是x^2+2x/y=C。
==>xy^2dx+(ydx-xdy)=0
==>xdx+(ydx-xdy)/y^2=0 (等式两端同除y^2)
==>∫xdx+∫(ydx-xdy)/y^2=0 (积分)
==>x^2/2+x/y=C/2 (C是常数)
==>x^2+2x/y=C
∴此方程的通解是x^2+2x/y=C。
追问
还有y=0
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两边分别对x和y积分得：x²y²/2+xy=x²/2，解出y=-1±√(x²+1)
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先求积分因子：P=xy²+y,Q=-x；∂P/∂y=2xy+1；∂Q/∂x=-1；
G(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)={1/[y(xy+1)]}(2xy+2)=2/y；
故得积分因子μ(y)=e^∫(-2/y)dy=1/e^(2lny)=1/e^(lny²)=1/y²；
把原方程的两边乘上这个积分因子,得一全微分方程：
(x+1/y)dx-(x/y²)dy=0,即有d(x²/2+x/y)=0
故得原方程的通解为：x²/2+x/y=C.
G(y)=(1/P)(∂P/∂y-∂Q/∂x)={1/[y(xy+1)]}(2xy+2)=2/y；
故得积分因子μ(y)=e^∫(-2/y)dy=1/e^(2lny)=1/e^(lny²)=1/y²；
把原方程的两边乘上这个积分因子,得一全微分方程：
(x+1/y)dx-(x/y²)dy=0,即有d(x²/2+x/y)=0
故得原方程的通解为：x²/2+x/y=C.
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