Question

在三角形ABC中,A大于B是sinA大于sinB的必要性的证明

麻烦写下过程

Answer 1

必要性:因为sinA>sinB,所以sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]>0
因为ABC是三角形,所以0<(A+B)/2<π/2,-π/2<(A-B)/2<π/2
所以cos[(A+B)/2]>0,所以sin[(A-B)/2]>0,所以0<(A-B)/2<π/2
所以A>B
其实这是充分必要条件,下面证明充分性
充分性:因为A>B,sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
因为ABC是三角形,所以0<(A+B)/2<π/2,所以cos[(A+B)/2]>0
又0<(A-B)/2<π/2,所以sin[(A-B)/2]>0
故sinA-sinB>0,即sinA>sinB

Answer 2

题目的意思是：由sinA大于sinB可推出 A大于B
如果你懂是这个意思，没什么难证明的吧....

1）A、B都小于90°时，那很明显，结论成立；
2）反证）不妨令B大于A，且B大于90°
而sinA>sinB 即有 sin(B+C)>sin B
而由于B大于90°，所以B+C必然大于90°但小于180°
如此，sin(B+C)应该小于sinB
显然与上面的 sin(B+C)>sin B 矛盾
所以假设不成立

so....