Question

根号下1+x^2的不定积分是什么？

Answer 1

具体回答如下：

令x=tanu，u∈（-π/2,π/2）

∫√（1+x²）dx=∫sec³udu=∫secudtanu=secutanu-∫tanudsecu=secutanu-∫sec³udu+∫secudu=secutanu+1/2ln|secu+tanu|-∫secudu

∫sec³udu=1/2（secutanu+ln|secu+tanu|）+C

∫√（1+x²）dx=1/2（x√（1+x²）+1/2ln（x+√（1+x²）））+C

不定积分的意义：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。