Question

sinx绕y轴旋转一周的体积是什么？

Answer 1

相关如下：

先求出y=sinx，x为0到π，与x轴围成的面积。

这部分面积是∫(0,π) sinxdx=-cos|(0,π) =2。

绕y轴旋转一周所组成的图形是一个圆环的一半，圆柱的体积是底面积乘以高，底面积已经求出来，就是2，那么高是把这个圆环拉直时的高度，这个高度就是以π/2为半径的圆的周长，等于π²，所以体积是2π²。

相关介绍：

SinX是正弦函数，而CosX是余弦函数，两者导数不同，SinX的导数是CosX，而CosX的导数是  —SinX，这是因为两个函数的不同的升降区间造成的。

sinx的导数是cosx(其中X是常数），曲线上有两点(X1，f（X1）)，(X1+△x，f（x1+△x）)。当△x趋向0时，△y=(f（x1+△x）-f（x1）)/△x 极限存在，称y=f(X)在x1处可导，并把这个极限称f(x)在X1处的导数，这是可导的定义。

增量△y=f(x+△x)-f(x) 不除△x。

根据定义，有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x)，其中△x→0，将sin(x+△x)-sinx展开，就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx，由于△x→0，故cos△x→1。

从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x，于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x，这里必须用到一个重要的极限，当△x→0时候，lim(sin△x)/△x=1，于是(sinx)’=cosx。