Question

摆线一拱的面积是什么?

Answer 1

摆线一拱的面积是指圆走过一圈的路线。

由摆线x=a(t - sint)，y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。

解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为：

S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))

=∫a^2(1 -cost)^2dt

又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为

S=∫(0，2π)a^2*(1 -cost)^2dt

=a^2*∫(0，2π)(1-2cost+(cost)^2)dt

=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+a^2*∫(0，2π)(cost)^2dt

=a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)(1+cos2t)dt

=3/2*a^2*∫(0，2π)1dt-2*a^2*∫(0，2π)costdt+1/2*a^2*∫(0，2π)cos2tdt

=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)

=3π*a^2

摆线介绍：

摆线是指一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称圆滚线、旋轮线。

圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。

再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。

以上内容参考：百度百科-摆线