Question

用函数极限的定义证明下面极限

Answer 1

证明：对任意的ε>0，解不等式
│x(√(x^2-4)-x)+2│=│-4x/(√(x^2-4)+x)+2│
(第一项分子分母同乘(√(x^2-4)+x)，再化简)
=2│(√(x^2-4)-x)/(√(x^2-4)+x)│ (通分，再化简)
=8/│√(x^2-4)+x│^2 (分子分母同乘(√(x^2-4)+x)，再化简)
<8/│x│^2<ε
得x>2√2/√ε，则取δ≥2√2/√ε。
于是，对任意的ε>0，总存在正数δ(≥2√2/√ε)，
当x>δ时，有│x(√(x^2-4)-x)+2│<ε。
即 lim(x->+∞)[x(√(x^2-4)-x)]=-2命题成立，证毕。