Question

高数大神 这样对称为什么不对？

Answer 1

∵x²+y²+z²=1(x≥0,y≥0)
∴z=±√(1-x²-y²)
原式=∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy-∫∫xy(-1)√(1-x²-y²)dxdy (S表示区域：x²+y²=1,x≥0,y≥0)
=2∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy
=2∫dθ∫r²sinθcosθ√(1-r²)rdr (极坐标变换)
=∫sin(2θ)dθ∫√(1-r²)r³dr
=[1/2-(-1/2)](1/3-1/5) (分别计算两个积分)
=2/15
可用对称性，但结果不是0，因为这里有三个对称的地方：
曲面关于xoy面对称；被积函数关于z是奇函数；上半曲面的上侧与下半曲面的下侧对称
所以结果是上半曲面的上侧上积分的2倍，而不是0