Question

如何用十字相乘法分解多项式？

Answer 1

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。

则：[A*M+B*(S－M）]/S=C

A*M/S+B*(S-M)/S=C

M/S=(C-B)/(A-B)

1-M/S=(A-C)/(A-B)

因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)

上面的计算过程可以抽象为：

A ^C-B

^C

B^ A-C

这就是所谓的十字分解法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。

例1

把2x²-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7 ≠-7

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5 ≠-7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)

通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.

例2

把5x²+6xy-8y²分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

扩展资料

十字相乘法是因式分解中12种方法之一，另外十一种分别是：1分组分解法 2.拆添项法 3.配方法 4.因式定理（公式法）5.换元法 6.主元法 7.特殊值法8.待定系数法 9.双十字相乘法 10.二次多项式11.提公因式法。

十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。

资料来源：十字相乘法_百度百科