Question

如何判断方程是否有单位根

Answer 1

判断方程是否有单位根：

F'(x)=f(x)+1/f(x)。

因为f(x)在(a, b)上连续且无零点，则f(x)>0, 或f(x)<0恒成立。

先分析f(x)>0的情况。

则F'(x)>0, F(x)在(a, b)必然单调，最多只有一个根。

又F(a)=∫(b, a)1/f(t)dt=-∫(a，b)1/f(t)dt<0。

F(b)=∫(a, b)f(t)dt>0。

因此在(a, b)有唯一零点。

同理，f(x)<0的情况也是有唯一零点。

含义

当n不小于 2时， n次单位根总和为 0。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的xn-1项系数为零得出。