概率，随机变量，随机过程
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概率 通常理解为衡量事件发生的可能性大小，但是不严谨。拿投骰子举例，投一次骰子，称作一次试验，所有可能的试验结果就称为 样本空间 ， 事件 就是样本空间的子集。
概率 是赋予事件的一个实数，通常记为P（A），即P（A）是一个函数，这个函数满足三个条件:
(1)非负性 ：P（A）>=0；
(2)规范性 ：对于必然事件来说，P（A）=1；
(3)可列可加性 ：对于两个不相容的事件来说，有 P(A并B)=P(A)+ P(B)
概率是赋予事件的一个实数，这个定义可以说是概率的本质特征，但是没有给出概率的具体数值。
为了给出一个具体的数值，设N为试验次数，N（A）是事件A发生的次数，当N趋向于无穷大时， P（A）=N（A）/N ; 这个定义是符合概率的三条性质的。
在解决问题时，我们还要分清楚 概率 是 经验数据得到的结果 还是 逻辑推理得到的结果 。例如：
(1)如果把一枚 偏心 的骰子投1000次，有200次出现5点，那么5点发生的概率是0.2；
这个概率结果就是一个由 经验数据 得出的结果。
(2)如果骰子是 均匀 的，由于对称性，得出5点的概率是1/6;
而这一个概率结果由 对称性和可列可加性逻辑 推出来的就是1/6。
随机变量 是赋予实验的每一个结果的一个数，记作 X（ξ） （对比一下概率的定义哦）
比如你投掷均匀色子的时候， 出现偶数你记作1，出现奇数你记作0 ，那么定义域就是{1,2,3,4,5,6}，值域是{0,1}，这也就说明白了随机变量。
那么P（ X=0 ）=0.5，P（ X=1 ）=0.5。
在接触了随机变量后，也有必要回顾一下 联合概率，边缘概率，独立，相关，二元积分，N维高斯的概率分布 等概念……
随机变量 是赋予实验所有可能结果的一个数 X（ξ） ，而 随机过程 x(t)是赋予每个结果ξ的一个函数 X（t,ξ） 。
所谓 过程 ，就是 引入时间t 这一个参量。用大白话来说， 随机过程是一个二元函数 ，在每一时刻，随机过程的值是一个随机变量，相当于在这个时刻时间静止了； 在每一个ξ下，随机过程是一个样本函数。
在 概率论 中 ， 通常研究 一个或多个这样有限个数 的随机变量，即使在大数定律和中心极限定理中考虑了无穷多个随机变量，但也要假设随机变量之间 互相独立。随机过程 主要是研究 无穷多个互相不独立的、有一定相关关系 的随机变量。随机过程就是许多随机变量的集合，代表了某个随机系统随着某个指示向量的变化，这个指示向量常用的是 时间向量。
其中 指标集合T ： 通常用的指标集合是代表时间，以实数或整数表示其元素。
以 实数 形式表示时，随机过程即为 连续随机过程 ；
以 整数 形式表示时，随机过程即为 离散随机过程 。
对比一下概率和熵， 概率 给出了在 单次事件A 发生或者不发生这种不确定性的度量，而 熵 考虑的问题不是某一个事件，而是对S的 某个分割U的任何事件Ai 发生与否的不确定性赋予测度。什么意思呢？
分割 用大白话说，就是把样本空间用刀去分，类似切西瓜，比如还是用投色子为例，你把总的样本空间{1,2,3,4,5,6}划分成{1,2,3；4,5,6}两块，这就是一个分割；当然你也可以{1,2；3,4,5,6}，这是另外一种分割。
互信息 是 一个随机变量包含另外一个随机变量 的信息量。通信最后要达到目的就是能从接收端准确无误恢复出发送信号，也就是通过 接收信号来逐步消除不确定性 获得关于发送信号的信息。
信息论有多么重要，你自然明白……就目前学习到的内容来说，信息论解答了通信的两个基本问题：
（1） 临界数据压缩的值，即熵H ；第三章讲信源编码，当使用霍夫曼编码，L长度趋向无穷大时，平均码长度接近信源熵。
（2） 临界通信传输速率的值，即信道容量C ，也就是第四章信道容量的内容。
该书内容包括有： 随机变量，随机过程，排队论，马尔科夫过程，熵，编码，检测与估计，谱估计，随机游动，谱应用 等等。
概率论与数理统计 ：https://www.cnblogs.com/wanghui626/p/6817359.html
大数定律： 大量样本数据的均值（样本值之和除以样本个数），近似于随机变量的期望（标准概率*样本次数）。（样本（部分）趋近于总体）
中心极限定理： 大量样本数据的均值（或者样本和\众数、极差等等，或者任意的非正态的分布都可以）的频率分布，服从正态分布（样本越大，越吻合正态分布）。
大数定律 研究的是在什么条件下，这组数据依概率收敛于他们的均值。
中心极限定理 研究的是在什么条件下，这些样本依分布收敛于正太分布。
依概率收敛就是强收敛，随机过程中成为强平稳。
依分布收敛就是弱收敛，随机过程中成为弱平稳。
概率的解释有两种观点，一种是 频率观点 ，一种是 贝叶斯观点 。
比如说，抛硬币，正面的概率是0.5。
可以解释为， 经过大量的实验后发现，抛硬币正面朝上的频率为0.5。
也可以解释为， 下一次抛硬币，正面朝上的概率为0.5。
概率 是赋予事件的一个实数，通常记为P（A），即P（A）是一个函数，这个函数满足三个条件:
(1)非负性 ：P（A）>=0；
(2)规范性 ：对于必然事件来说，P（A）=1；
(3)可列可加性 ：对于两个不相容的事件来说，有 P(A并B)=P(A)+ P(B)
概率是赋予事件的一个实数，这个定义可以说是概率的本质特征，但是没有给出概率的具体数值。
为了给出一个具体的数值，设N为试验次数，N（A）是事件A发生的次数，当N趋向于无穷大时， P（A）=N（A）/N ; 这个定义是符合概率的三条性质的。
在解决问题时，我们还要分清楚 概率 是 经验数据得到的结果 还是 逻辑推理得到的结果 。例如：
(1)如果把一枚 偏心 的骰子投1000次，有200次出现5点，那么5点发生的概率是0.2；
这个概率结果就是一个由 经验数据 得出的结果。
(2)如果骰子是 均匀 的，由于对称性，得出5点的概率是1/6;
而这一个概率结果由 对称性和可列可加性逻辑 推出来的就是1/6。
随机变量 是赋予实验的每一个结果的一个数，记作 X（ξ） （对比一下概率的定义哦）
比如你投掷均匀色子的时候， 出现偶数你记作1，出现奇数你记作0 ，那么定义域就是{1,2,3,4,5,6}，值域是{0,1}，这也就说明白了随机变量。
那么P（ X=0 ）=0.5，P（ X=1 ）=0.5。
在接触了随机变量后，也有必要回顾一下 联合概率，边缘概率，独立，相关，二元积分，N维高斯的概率分布 等概念……
随机变量 是赋予实验所有可能结果的一个数 X（ξ） ，而 随机过程 x(t)是赋予每个结果ξ的一个函数 X（t,ξ） 。
所谓 过程 ，就是 引入时间t 这一个参量。用大白话来说， 随机过程是一个二元函数 ，在每一时刻，随机过程的值是一个随机变量，相当于在这个时刻时间静止了； 在每一个ξ下，随机过程是一个样本函数。
在 概率论 中 ， 通常研究 一个或多个这样有限个数 的随机变量，即使在大数定律和中心极限定理中考虑了无穷多个随机变量，但也要假设随机变量之间 互相独立。随机过程 主要是研究 无穷多个互相不独立的、有一定相关关系 的随机变量。随机过程就是许多随机变量的集合，代表了某个随机系统随着某个指示向量的变化，这个指示向量常用的是 时间向量。
其中 指标集合T ： 通常用的指标集合是代表时间，以实数或整数表示其元素。
以 实数 形式表示时，随机过程即为 连续随机过程 ；
以 整数 形式表示时，随机过程即为 离散随机过程 。
对比一下概率和熵， 概率 给出了在 单次事件A 发生或者不发生这种不确定性的度量，而 熵 考虑的问题不是某一个事件，而是对S的 某个分割U的任何事件Ai 发生与否的不确定性赋予测度。什么意思呢？
分割 用大白话说，就是把样本空间用刀去分，类似切西瓜，比如还是用投色子为例，你把总的样本空间{1,2,3,4,5,6}划分成{1,2,3；4,5,6}两块，这就是一个分割；当然你也可以{1,2；3,4,5,6}，这是另外一种分割。
互信息 是 一个随机变量包含另外一个随机变量 的信息量。通信最后要达到目的就是能从接收端准确无误恢复出发送信号，也就是通过 接收信号来逐步消除不确定性 获得关于发送信号的信息。
信息论有多么重要，你自然明白……就目前学习到的内容来说，信息论解答了通信的两个基本问题：
（1） 临界数据压缩的值，即熵H ；第三章讲信源编码，当使用霍夫曼编码，L长度趋向无穷大时，平均码长度接近信源熵。
（2） 临界通信传输速率的值，即信道容量C ，也就是第四章信道容量的内容。
该书内容包括有： 随机变量，随机过程，排队论，马尔科夫过程，熵，编码，检测与估计，谱估计，随机游动，谱应用 等等。
概率论与数理统计 ：https://www.cnblogs.com/wanghui626/p/6817359.html
大数定律： 大量样本数据的均值（样本值之和除以样本个数），近似于随机变量的期望（标准概率*样本次数）。（样本（部分）趋近于总体）
中心极限定理： 大量样本数据的均值（或者样本和\众数、极差等等，或者任意的非正态的分布都可以）的频率分布，服从正态分布（样本越大，越吻合正态分布）。
大数定律 研究的是在什么条件下，这组数据依概率收敛于他们的均值。
中心极限定理 研究的是在什么条件下，这些样本依分布收敛于正太分布。
依概率收敛就是强收敛，随机过程中成为强平稳。
依分布收敛就是弱收敛，随机过程中成为弱平稳。
概率的解释有两种观点，一种是 频率观点 ，一种是 贝叶斯观点 。
比如说，抛硬币，正面的概率是0.5。
可以解释为， 经过大量的实验后发现，抛硬币正面朝上的频率为0.5。
也可以解释为， 下一次抛硬币，正面朝上的概率为0.5。
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