证明:不等式a^2/(a+b)(a+c)+b^2/(b+c)(b+a)+c^2/(c+a)(c+b)≥3/4对所有正实数a,b,c都成立
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两边同乘[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
即证：[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]*[a^2/(a+b)(a+c)+b^2/(b+c)(b+a)+c^2/(c+a)(c+b)]≥3/4[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
由柯西不等式知:左边>=(a+b+c)^2于是即证：
(a+b+c)^2>=3/4[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
即证4(a+b+c)^2>=3[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
展开整理即证：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
同乘2即证：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0显然成立.
取等a=b=c
即证：[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]*[a^2/(a+b)(a+c)+b^2/(b+c)(b+a)+c^2/(c+a)(c+b)]≥3/4[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
由柯西不等式知:左边>=(a+b+c)^2于是即证：
(a+b+c)^2>=3/4[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
即证4(a+b+c)^2>=3[(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)]
展开整理即证：a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
同乘2即证：(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0显然成立.
取等a=b=c
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