Question

反函数的定义是什么？

Answer 1

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。

性质：

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（8）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导；

（9）y=x的反函数是它本身。

扩展资料

反函数的复合函数：

这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数y=x，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“1x”。

数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与1/x的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为f○g，那么下面的性质成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。

参考资料来源：百度百科-反函数

Answer 2

我们假设一个函数f，你给了它一个输入x. 如果x在f的定义域中，你就能得到一个输出，我们称它为f(x). 现在我们把过程倒过来，并问：如果你选一个实数y，那么应该赋予f什么样的输入才能得到这个输出y呢？
用数学语言来陈述这个问题就是：给定一个实数y，那么在f定义域中的哪个x满足f(x)=y？首先要注意的点是，y必须在f的值域中. 否则，根据定义，将不再有x的值使得f(x)=y成立了. 如果在f定义域中将没有这样的x满足f(x)=y，因为值域是所有的可能输出.
另一方面，如果y在值域当中，也可能会有很多的值满足f(x)=y. 例如f(x)=x^2（其定义域为R），我们的问题是x取何值时会输出64. 很显然，有两个x值：8和-8. 另外，如果g(x)=x^3，对于相同的问题，这时只有一个x值，就是4. 对于任意一个我们赋予g去做变换的实数，结果都是如此，因为任何数都只有一个（实数）立方根.
所以这里的情况如下：给定一个函数f，在f的值域中选择y. 在理想状况下，仅有一个x值满足f(x)=y. 如果上述理想状况对于值域中的每一个y来说都成立，那么就可以定义一个新的函数，它将逆转变换. 从输出y出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输入x满足f(x)=y. 这个新的函数称为f的反函数，并写作f^(-1). 以下是使用数学语言对上述情形的总结.
（1）从一个函数f出发，使得对于在f值域中的任意y，都只有唯一的x值满足f(x)=y. 也就是说，不同的输入对应不同的输出. 现在我们就来定义反函数f^(-1).
（2）f^(-1)的定义域和f的值域相同.
（3）f^(-1)的值域和f的定义域相同.
（4）f^(-1)(y)的值就是满足f(x)=y的x. 所以，如果f(x)=y，那么f^(-1) (y)=x.
变换f^(-1)就是f的撤销按钮：如果你从x出发，并通过函数f将它变换为y，那么你可以通过在y上的反函数f^(-1)来撤销这个变换的结果，取回x.