Question

求dy/dx=(x+y)^2的通解

Answer 1

求dy/dx=(x+y)^2的通解

dy/dx = (x + y)²
令t = x + y，dt/dx = 1 + dy/dx
dt/dx - 1 = t²
dt/dx = (1 + t²)
dt/(1 + t²) = dx
arctan(t) = x + C₁
x + y = tan(x + C₁)
y = tan(x + C₁) - x
希望这个回答对你有帮助

dy/dx=x+y的通解

dy/dx = x+y
积分因子u(x) = e^∫(-1)dx = e^(-x)，将这个乘以整个微分方程
e^(-x) * dy/dx - e^(-x)*y = x*e^(-x)
d[e^(-x)*y]/dx = xe^(-x)
e^(-x)*y = ∫ xe^(-x) dx = -∫ x de^(-x) = -xe^(-x) + ∫ e^(-x) dx = -xe^(-x) - e^(-x) + C
e^(-x)*y = -(x+1)*e^(-x) + C
y = - x - 1 + C1

求dy/dx=1/x+y的通解

dy／dx=1／（x+y）
dx/dy=x+y
x'-x=y（1）
特征方程r-1=0
r=1
齐次通解为x=Ce^y
设特解是x=ay+b
x'=a
代入（1）得
a-(ay+b)=y
比较系数得
a=-1,b=1
所以特解是x=-y+1
所以方程的通解是
x=Ce^y-y+1

dy/dx=x-y/x+y的通解

令y=xu
则y'=u+xu'
代入方程： u+xu'=(x-xu)/(x+xu)
得：u+xu'=(1-u)/(1+u)
xu'=(1-u-u-u²)/(1+u)
du(1+u)/(u²+2u-1)=-dx/x
du(1+u)/[(u+1)²-2]=-dx/x
d(u+1)²/[(u+1)²-2]=-2dx/x
积分：ln|(u+1)²-2|=-2ln|x|+C1
得：(u+1)²-2=C/x²
(y/x+1)²-2=C/x²
即： (y+x)²-2x²=C
y²+2xy-x²=C

（x+y）dy=（y-x）dx，故dydx＝y?xy+x＝yx?1yx+1．①令u＝yx，即y=ux，则dydx＝u+xdudx，于是方程①变为：u+xdudx＝u?1u+1，整理即得：xdudx＝?u2+1u+1．分离变量得，u+1u2+1du＝?1xdx，即有：uu2+1du+1u2+1du＝?1xdx．两边积分可得，12ln(u2+1)+a.

dy/dx=1/(x+y)^2的通解为

dy/dx=1/(x+y)²
令
x+y=t
原式变为
d(t-x)/dx=1/t²
即
dt/dx=(1+t²)/t²
变形得
[t²/(1+t²)]dt=dx
两边积分
x=t-arctant+C
原方程通解为
　 y-arctan(x+y)+C=0

dy/dx=1/(x+y)的通解

原方程可记为dx\dy=x+y
整理得dx\dy－x=y
这个方程可作关于X关于y函数（x是y的函数），关于x的一阶线性非齐次微分方程，可利用公式（在课本上给y是x的函数的公式为y=e^-∫P(x)dx(∫Q(x)e^∫P(x)dx+C）），可常数学变易法。)
公式法解答：P（y）=-1，Q(y)=y，由一阶线性非齐次微分方程的求解公式得
x=e^-∫P(y)dy(∫Q(y)e^∫P(y)dy+C）=e^-∫(-1)dy(∫ye^∫(-1)dy+C）=e^y(∫ye^ydy+C）
=e^y(ye^y-e^y+C）
其中∫ye^ydy用的是分部积分

方程dy/dx=y/x+y的通解

答：
dy/dx=y/(x+y)
取倒数：
dx/dy=(x+y)/y
把x看做是y的函数，y是自变量
x'(y)=(x+y)/y
yx'=x+y
(x/y)'=x'/y-x/y^2=(yx'-x)/y^2=y/y^2=1/y
x/y=ln|y|+ln|C|=ln|Cy|，C≠0
所以：通解为x=yln|Cy|，C≠0

求方程dy/dx=e∧(x+y的通解)

dy/dx=e∧(x+y）
e^(-y)dy=e^xdx
两边积分得：
-e^(-y)=e^x+c
e^y=-1/(e^x+c)
y=ln(-1/(e^x+c)
y=-ln(c-e^x)