Question

级数收敛问题

只有在一个级数收敛的情况下，他的绝对值收敛才是绝对收敛。
只要一个级数的绝对值收敛，那他就是绝对收敛。
一个收敛但不是绝对收敛的级数条件收敛。
三句话的正确性。求详细。
一个级数发散，但是他的绝对值级数收敛，那他是条件收敛？

Answer 1

第一句话不对，第二句话说得不准确，第三句话正确。解析如下：

1. 绝对收敛指的是：如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣Un∣收敛，则称级数ΣUn绝对收敛。也就是和Un收敛与否无关。但是话说回来，一个级数如果绝对收敛，那么没有绝对值也一定是收敛的。（要不怎么叫绝对呢，就是不管加不加绝对值都收敛）也就是绝对收敛一定可以得到数列收敛，但是数列收敛不一定是绝对收敛。

2. 正确的说法应该是只要一个级数各项的绝对值构成的新数列收敛，那它是绝对收敛。题目中给的表述是说级数的绝对值收敛，是说的|ΣUn|收敛，而不是Σ∣Un∣收敛，因此说的不准确。

3. 第三句话正确。无论是级数还是无穷积分，敛散性只有三种情况：发散、条件收敛、绝对收敛。因此，一个级数收敛但是不是绝对收敛，那就一定是条件收敛。
   

Answer 2

∑|an|收敛一定能推出∑an收敛，所以∑an发散同时∑|an|收敛的情况是不存在的，把这个搞懂就行了

Answer 3

如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的级数Σ|Un|收敛，则称级数ΣUn绝对收敛，级数ΣUn称为绝对收敛级数。绝对收敛级数一定收敛
如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛
应该很清楚了，你说的最后一个应该不会出现