Question

- 求证n的三次方+(n+1)的三次方+(n+2)的三次方能被9整除

Answer 1

用数学归纳法
n=1时,n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=3^2+3^3=9×4,
可被9整除,
假设n=k(k≥1)时,k^3+(k+1)^3+(k+2)^3可被9整除,
则n=k+1时,
[(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3]-[k^3+(k+1)^3+(k+2)^3]
=(k+3)^3-k^3
=(k+3-k)[(k+3)^2+k^2+k×(k+3)]
=9(k^2+3k+3),
所以[(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3]-[k^3+(k+1)^3+(k+2)^3]也可被9整除,
又9整除k^3+(k+1)^3+(k+2)^3,
所以9整除(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3,
所以n=k+1时也可被9整除,
所以n^3+(n+1)^3+(n+2)^3可被9整除.