Question

双曲线离心率的距离公式如何由来?

Answer 1

如题，该距离公式借助双曲线的第二定义得出。因此，以下先说明双曲线的第二定义，再给出所涉距离公式。

1.双曲线的第二定义：

①文字语言：若平面内点P与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，则点P的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

②集合语言：

③两点说明：

1）双曲线有两条准线：对于双曲线x²/a²－y²/b²=1相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=a²/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F1（－c,0）的准线方程是x=-a²/c；

2）据定义知，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

2.借助第二定义表示双曲线上一点到两焦点的距离：

以点P在双曲线右支为例，类似地，可得出点P在左支的情形。

如图，不妨假设P(x。,y。)是双曲线x²/a²－y²/b²=1右支上任意一点，点F1（－c,0）、F2（c,0）分别是双曲线的左、右焦点：

①由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为D，则

②由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为E，则

3.一点补充：

当点P在双曲线左支时，有：|PF1|=－(ex。+a)，|PF2|=－(ex。－a)