Question

求微分方程dy/dx=2xy(y-1)满足初值条件y(x=0)=-1的特解 线上等 谢谢

Answer 1

求微分方程dy/dx=2xy(y-1)满足初值条件y(x=0)=-1的特解 线上等 谢谢

dy/dx=2xy(y-1)
dy/[y(y-1)]=2xdx
等式两边同时积分
∫dy/[y(y-1)]=∫2xdx
∫[1/(y-1) -1/y]dy
ln[(y-1)/y]=x²+C
(y-1)/y=e^(x²+C)
y=1/[1-e^(x²+C)]
x=0，y=-1代入，得
C=ln2
y=1/[1-e^(x²+C)]=1/[1-2e^(x²)]
所求特解为：y=1/[1-2e^(x²)]

求微分方程dy/dx-2xy=e^x^2cosx满足初值条件y(0)=1的解

不好意思。。。
左右同时Ln
Lny`=X^2CosX+Ln2X+LnY
变数分离
ln(dy/y)=X^2cosX+Ln(2xdx)
ln(dlny)=(X^2)^cosx+ln(dX^2)
ln(dlny)=ln((X^2)^cosxdX^2)=
可能方法错了 右边积不下去。。

求微分方程dy/dx+2xy=4x,满足条件y(0)=1的特解

对应的其次方程为y‘=-2xy
分离变数得dy/y=-2xdx
∴y=ce^(-x^2)
常数变易法y'=c'e^(-x^2)+ce^(-x^2)(-2x)
代入得dc/dx=4xe^(x^2)
c=2e^(x^2)+c'
代回得y=e^(-x^2)(2e^(x^2)+c')
=c'e^(-x^2)+2

求微分方程dy/dx=2x[(1-y^2)]^(1/2)满足初始条件y(0)=1的特解

可以分离x和y的
原方程变化为
dy/[(1-y^2)]^(1/2)=2xdx
所以arcsiny=x^2+C
所以y=sin(x^2+C)

求解微分方程dy/dx=y^2cosx 满足初值条件y(0)=1的解

这是分离变数的方程：
dy/dx = y^2 * cosx =>
1 / y^2 dy = cos x dx 积分=>
-1/y = sin x + C =>
y = -1 / (sin x + C).
y(0) = 1 代入 => C = -1.
故 y = -1 / (sin x - 1) = 1 / (1 - sin x).

求微分方程(y+1)^2(dy/dx)+x^3=0满足当x=0,y=0的特解解

解：∵(y+1)^2(dy/dx)+x^3=0
==>(y+1)^2dy+x^3dx=0
==>(y+1)^3/3+x^4/4=C (C是常数)
∴原方程的通解是(y+1)^3/3+x^4/4=C
∵当x=0时，y=0
∴代入通解，得C=1/3
故原方程满足所给初始条件的特解是(y+1)^3/3+x^4/4=1/3。

求微分方程（x2-1）dy+（2xy-cosx）dx=0满足初始条件y|x=0=1的特解

因为
（x ² -1）dy+（2xy-cosx）dx=（x ² dy+2xydx）-（dy+cosx dx）
=d（x ² y）-d（y+sinx）
=d（x ² y-y-sinx），
由 d（x ² y-y-sinx）=0 可得，x ² y-y-sinx=C．
将 y| _x=0 =1 代入可得，C=-1．
所以满足题意的特解为
x ² y-y-sinx=-1．

求微分方程(dy/dx)-y/x=3x满足初始条件y|(x=1)=4的特解

xy'-y=3x^2
(xy'-y)/x^2=3
(y/x)'=3
两边积分：y/x=3x+C
令x=1：4=3+C,C=1
所以y=3x^2+x

求微分方程dy/dx+[(2-3x^2)/x^3]*y=1 满足初始条件x=1,y=o的特解

先求线性通解
dy/y=(3/x-2/x³)dx
lny=3lnx+1/x²+C
y=Cx³e^(1/x²)
故y=C(x)x³e^(1/x²)，
故C(x)=∫e^(-1/x²)/x³dx=e^(-1/x²)/2+C
y=x³/2+Cx³e^(1/x²)
0=1/2+Ce得C=-1/2e
y=x³/2-x³e^(1/x²-1)/2

求微分方程dy/dx=1/(xcosy+sin2y)满足y(-2)=0的特解

dy/dx=1/(xcosy+sin2y)=1/(xcosy+2sinycosy)
所以cosydy/dx=1/(x+2siny)
所以dsiny/dx=1/(x+2siny)
所以dx/dsiny=x+2siny
令Y=siny
则dx/dY=x+2Y
所以dx/dY -x=2Y
所以视x为Y的函式，上面的就是一阶非齐次线性方程，很容易解的吧？