Question

求由下列曲线所围成图形的面积:y^2=2x+1,x-y-1=0,

Answer 1

先解出2个交点坐标（所围图形面积和交点密切相关,所以先求）：
y^2 = 2x + 1 （1）
x - y - 1 = 0,
消去y得到：(x-1)^2 = 2x + 1,推出x = 0或4,这样,交点坐标为A(0,-1),B(4, 3).
然后画图.求图形的面积就是求定积分.注意到如果对x积分那么被积函数的形式会很复杂,因为从（1）式里解y出来会有正负两个根；如果对y积分就避免了这个问题.对y积分的积分上下限就是交点A的纵坐标到交点B的纵坐标,即-1到3,于是
面积S = 定积分（-1到3） { y+1 - （y^2 - 1）/2 } （对y积分要全部表示为y,并且此时直线正好全部位于抛物线上方（旋转90度看图））
= 定积分（-1到3）{ y - 1/2 y^2 + 3/2 }
= 1/2 y^2 - 1/6 y^3 + 3y/2 | -1到3
= 16/3.
答案：面积为16/3