Question

一个数学题，看谁答的快

解方程：x^2+(x/x+1)^2=3

Answer 1

x²+x²/(x+1)² = 3
去分母
x²(x+1)² + x² = 3x² + 6x + 3
x^4 + 2x³ + 2x² = 3x² + 6x + 3
x^4 + 2x³ - x² - 6x - 3 = 0
四次方程求根公式比较复杂
这里不好打出来
令x = y - 1/2
代入化简,消去x³项
得
y^4 - 2.5y² - 4y - 7/16 = 0
(y² - 5/4)² = 4y + 2
(y² - 5/4)² + 2a(y² - 5/4) + a² = 2a(y² - 5/4) + a² + 4y + 2 = 2ay² + 4y + (a² - 2.5a + 2)
因等号左边为完全平方
故取适当的a值使右边也为完全平方,即
4² - 4 * 2a * (a² - 2.5a + 2) = 0
把a解出并代入上式,可解除出y值
x = y - 1/2,也能解出

解关于a的三次方程
令a = b + 5/6
代入方程并化简得
b³ - b/12 - 161/108 = 0
再令b = m^(1/3) + n^(1/3)
b³ = m + n + 3(nm)^(1/3) * [m^(1/3) + n^(1/3)]
即b³ = m + n + 3(nm)^(1/3) * b
代入关于b的3次方程得
m + n + 3(nm)^(1/3) * b - b/12 -161/108 = 0
故得m + n - 161/108 = 0
3(nm)^(1/3) - 1/12 = 0
即m + n - 161/108 = 0
mn = 1/36³
再解关于m,n的方程组得
m = 161/216 + √5 / 3,
n = 161/216 - √5 / 3
依次代入b = m^(1/3) + n^(1/3)
和a = b + 5/6
解出a
a = (161/216 + √5 / 3)^(1/3) + (161/216 - √5 / 3)^(1/3) + 5/6
由计算器算得
a = 2

哈哈,这简单多了
(y² - 5/4)² + 2a(y² - 5/4) + a² = 2a(y² - 5/4) + a² + 4y + 2 = 2ay² + 4y + (a² - 2.5a + 2)
变成
(y² + 3/4)² = (2y + 1)²
得到
y² - 2y - 1/4 = 0
或
y² + 2y + 7/4 = 0
因y是实数
解出y = 1±√5 / 2
x = (1±√5)/2

因x² < 3 , x²/(1+x)² < 3
验算得
x = (1±√5)/2都是原方程的根

其实a可以观察出来
因为题目不可能太复杂
可以用-2,-1,0,1,2逐个代入验算
一般有一个肯定是根

Answer 2

无实数解，题目写错了吧

x^2+(x/x+1)^2=3
x^2+(1+1)^2=3
x^2=-1
x=i或x-i
只有两个复数解

Answer 3

你的目的是知道答案,
还是好玩?
以下是解:
x²+x²/(x+1)² = 3
去分母
x²(x+1)² + x² = 3x² + 6x + 3
x^4 + 2x³ + 2x² = 3x² + 6x + 3
x^4 + 2x³ - x² - 6x - 3 = 0
四次方程求根公式比较复杂
这里不好打出来
令x = y - 1/2
代入化简,消去x³项
得
y^4 - 2.5y² - 4y - 7/16 = 0
(y² - 5/4)² = 4y + 2
(y² - 5/4)² + 2a(y² - 5/4) + a² = 2a(y² - 5/4) + a² + 4y + 2 = 2ay² + 4y + (a² - 2.5a + 2)
因等号左边为完全平方
故取适当的a值使右边也为完全平方,即
4² - 4 * 2a * (a² - 2.5a + 2) = 0
把a解出并代入上式,可解除出y值
x = y - 1/2,也能解出

解关于a的三次方程
令a = b + 5/6
代入方程并化简得
b³ - b/12 - 161/108 = 0
再令b = m^(1/3) + n^(1/3)
b³ = m + n + 3(nm)^(1/3) * [m^(1/3) + n^(1/3)]
即b³ = m + n + 3(nm)^(1/3) * b
代入关于b的3次方程得
m + n + 3(nm)^(1/3) * b - b/12 -161/108 = 0
故得m + n - 161/108 = 0
3(nm)^(1/3) - 1/12 = 0
即m + n - 161/108 = 0
mn = 1/36³
再解关于m,n的方程组得
m = 161/216 + √5 / 3,
n = 161/216 - √5 / 3
依次代入b = m^(1/3) + n^(1/3)
和a = b + 5/6
解出a
a = (161/216 + √5 / 3)^(1/3) + (161/216 - √5 / 3)^(1/3) + 5/6
由计算器算得
a = 2

(y² - 5/4)² + 2a(y² - 5/4) + a² = 2a(y² - 5/4) + a² + 4y + 2 = 2ay² + 4y + (a² - 2.5a + 2)
变成
(y² + 3/4)² = (2y + 1)²
得到
y² - 2y - 1/4 = 0
或
y² + 2y + 7/4 = 0
因y是实数
解出y = 1±√5 / 2
x = (1±√5)/2

因x² < 3 , x²/(1+x)² < 3
验算得
x = (1±√5)/2都是原方程的根

Answer 4

如果你的题目没有打错的话是 i和-i
如果打错的话是
1/2*5^(1/2)+1/2
-1/2*5^(1/2)+1/2
-3/2+1/2*sqrt(-1)*3^(1/2)
-3/2-1/2*sqrt(-1)*3^(1/2)