Question

已知函数f(x)＝2x+3x+1 (x≠−1)．？

Answer 1

解题思路：（1）将函数 f(x)＝ 2x+3 x+1 的解析式化为f （ x ）= 2+ 1 x+1 ，根据反比例函数的图象和性质，可求出函数f （ x ）的值域；
（2）先将函数f （ x ）进行变形成用y表示x的形式，可得函数f （ x ）的反函数f -1（x）；
（3）结合（2）中所得反函数f -1（x）的解析式，任取区间（2，+∞）上两个实数x 1，x 2，且x 1＜x 2，判断f（x 1）-f（x 2）的符号，然后根据函数单调性的定义，可得结论．
（1）函数f(x)＝
2x+3
x+1=2+
1
x+1
∵[1/x+1≠0
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)＝
2x+3
x+1=2+
1
x+1
∴y-2=
1
x+1
∴x+1=
1
y−2]
∴x=[1/y−2]-1（y≠2）
即f-1（x）=[1/x−2]-1（x≠2）
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，
则x1-2＞0，x2-2＞，x2-x1＞0
则f（x1）-f（x2）=（
1
x1−2-1）-（
1
x2−2-1）
=
1
x1−2-
1
x2−2
=
x2−x1
(x1−2)•(x2−2)＞0
即f（x1）＞f（x2）
即f-1（x）在（2，+∞）上为减函数
,2,已知函数 f(x)＝ 2x+3 x+1 (x≠−1) ．
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f -1（x）；
（3）证明：f -1（x）在（2，+∞）上为减函数．