Question

太阳直射在南纬20度,求此时南纬20度的昼长

Answer 1

如果需要精确解,在数学上是比较麻烦的,不过可以用软件模拟得到一个精度相当高的答案.
2014年7月23日太阳的赤纬是20°6′,随后讲观测点纬度设定在北纬20°,这样得到的结果是和楼主在提问中所涉及的情况等价的.出于方便,我没有调整观测点的经度（反正是考虑差值,会被消除）,依然选定了上海的经度东经121°.
模拟的结果如下：日出5:30:17 日落：18:30:28
很容易得到白昼的长度13:0:11,不过考虑到当天太阳赤纬略高于20°（其实太阳赤纬在一天内变化量也会达到6-7′）,所以真实的答案在13：0分这个经度来描述才比较合适.
最后说一下数学上精确求解的方法：
首先通过球面三角推到出天体时角、高度角、赤纬与观测点纬度四个物理量之间的数学关系式（天球坐标系一章节中会有推导）.
根据楼主的题设,太阳赤纬取-20°,观测点地理纬度取20°.如果不考虑蒙气差和太阳视直径,升起落下时高度角取0°（如果考虑的话取37′+15′=52′）.最后代入公式计算出时角,会得到两解,一个对应日出,另一个对应日落,两个数值相减就是白昼的时间.
如果楼主需要完整的过程,我想你一定是天文专业的科班生,还请自己翻阅教科书,完成这一推算过程.