Question

为什么均值不等式必须是常数

Answer 1

y和2x的和一定 但是y和x的和不一定
例如x+2y=20
x y x+y的取值列表 只讨论整数的值
2 9 11
4 8 12
6 7 13
8 6 14
10 5 15
12 4 16
14 3 17
可以看出x+y不是常数 所以不能用均值定理
在这里 S=x*y=2xy/2<=(2x+y)^2/4/2=L^2/8
当且仅当2x=y即x=L/3 y=2L/3时取等号
这种题的解题关键是均值不等式的一侧一定要是个常数
要不然还是一个还有自变量的不等式
针对这道题就是不等号右侧一定要是2x+y的形式
别的形式 例如你所说的3x+y或者4x+y都不是常数
是解不出来的
这道题要用(a+b)^2>=2ab的形式 因为题目限定条件是2x+y=L
不能用x^2+y^2>=2xy 因为你不知道x^2和y^2的关系
就像你用的
S＝xy≤(x^2+y^2)/2不等号右侧不是个常数
就好比你解出来S<=对角线平方的一半 还是不知道S的最大值是什么
你想办法把不等号右侧配成一个常数 才知道最大值
而是所谓x=y只是不等式取等号的条件 不是S取最大值的条件