Question

数列an前n项和Sn=2的n+1次方 -2，数列bn是首项为b1，公差为d的等差数列，（d≠0）且

数列an前n项和Sn=2的n+1次方 -2，数列bn是首项为b1，公差为d的等差数列，（d≠0）且b1，b3，b11成等比数列
（1）求an，bn
（2）设Cn=bn/an，求Cn前n项和Tn

Answer 1

解：
(1)
设公差为d，则d≠0
a2、a4、a8成等比数列，则a4²=a2·a8
(a1+3d)²=(a1+d)(a1+7d)
整理，得d²-a1d=0
a1=2代入，得d²-2d=0
d(d-2)=0
d=0(舍去)或d=2
an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n
数列{an}的通项公式为an=2n
(2)
an·3^(an)=2n·3²ⁿ=2n·9ⁿ
Sn=2×(1×9+2×9²+3×9³+...+n×9ⁿ)
9Sn=2×[1×9²+2×9³+...+(n-1)×9ⁿ+n×9ⁿ⁺¹]
Sn-9Sn=-8Sn=2×(9+9²+...+9ⁿ-n×9ⁿ⁺¹)
=2×[9×(9ⁿ-1)/(9-1) -n×9ⁿ⁺¹]
=9×(9ⁿ-1)/4 -2n×9ⁿ⁺¹
=[(1-8n)·9ⁿ⁺¹-9]/4
Sn=[(8n-1)·9ⁿ⁺¹+9]/32