Question

1x3分之2的平方＋3x5分之4的平方＋5x7分之6的平方＋7x9分之8的平方＋9x11分之10的

1x3分之2的平方＋3x5分之4的平方＋5x7分之6的平方＋7x9分之8的平方＋9x11分之10的平方＋11x13分之12的平方

Answer 1

考察一般项第k项：
(2k)²/[(2k-1)(2k+1)]
=4k²/(4k²-1)
=(4k²-1+1)/(4k²-1)
=1 +1/(4k²-1)
=1+ 1/[(2k-1)(2k+1)]
=1+ ½[1/(2k-1) -1/(2k+1)]

2²/(1×3)+ 4²/(3×5) +6²/(5×7)+ 8²/(7×9) +10²/(9×11) +12²/(11×13)
=6+½(1- 1/3 +1/3- 1/5+ 1/5-1/7 +1/7-1/9 +1/9-1/11+ 1/11-1/13)
=6+½(1- 1/13)
=84/13

一般的：
2²/(1×3)+ 4²/(3×5) +...+(2n)²/[(2n-1)(2n+1)]
=n+½[1- 1/3 +1/3- 1/5+...+1/(2n-1) -1/(2n+1)]
=n+½[1- 1/(2n+1)]
=n+ n/(2n+1)
=2n(n+1)/(2n+1)

本题项数很少，硬算也是可以的，但是，当项数很多时，靠硬算就不行了。因此把详细的推导过程写出，供你参考。

Answer 2