Question

求解一道高一数学题~急！！

这是道改错题~~
问题：已知正实数a,b满足a+b=1,求（1/a）+（2/b)的最小值。
解答：因为（1/a）+（2/b)≥2√（2/ab)
又因为ab≤(a+b)^2/4=1/4
所以1/ab≥4
所以（1/a）+（2/b)≥2√（2/ab)≥2√(2*4)=4√2
在以上解题过程中，是否有错误？
如果有，是哪一步？
错在哪里？
你的解题方法是？

希望能有详细的过程~~我还会加分哦~！

Answer 1

问题：已知正实数a,b满足a+b=1,求（1/a）+（2/b)的最小值。
解答：因为（1/a）+（2/b)≥2√（2/ab)
又因为ab≤(a+b)^2/4=1/4
所以1/ab≥4
所以（1/a）+（2/b)≥2√（2/ab)≥2√(2*4)=4√2

你好，这是典型的均值不等式的等号取不到的情形。
因为你用了两次均值不等式，第一次等号成立条件是：1/a=2/b,
也就是b=2a
而第二次，ab<=1/4,等号成立条件是a=b=1/2这两个等号是不可能同时成立的！
所以，你的答案错误！

我的方法：
已知正实数a,b满足a+b=1,求（1/a）+（2/b)的最小值
解：因为a+b=1
所以：（1/a）+（2/b)
=[（1/a）+（2/b)]*(a+b)
=1+(b/a)+(2a/b)+2
=3+[(b/a)+(2a/b)]
>=3+2根号(b/a*(2a/b)
=3+2根号2

希望我的回答让你满意

Answer 2

（1/a）+（2/b)≥2√（2/ab)≥2√(2*4)=4√2
等号成立条件不能同时符合。
这个的话最好就是有柯西不等式
(a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2 当ay=bx时，等号成立
（1/a）+（2/b)=[（1/a）+（2/b)](a+b)≥(1+√2)^2=3+2√2
当2a^2=b^2时，等号成立