Question

函数的单调性与奇偶性 [初中数学 函数的奇偶性与单调性]

Answer 1

函数的奇偶性与单调性

湖南岳阳县七中 胡旭光供稿

一. 知识总结

1. 函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)

(2)奇函数

在原点有定义

为奇函数; 为偶函数;

(3)

任一个定义域关于原点对称的函数个偶函数之和

一定可以表示成一个奇函数和一

即

（奇）（偶）.

2. 函数的单调性(注:①先确定定义域; ②单调性证明一定要用定义)

(1)定义:

区间

上增函数, 若

(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同; 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. 判断函数单调性的方法:①定义法, 即比差法; ②图象法; ③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）; ④复合函数单调性判断法则.

3. 周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中, 是化归思想的重要手段. 求周期的重要方法:①定义法; ②公式法; ③图象法; ④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.

上任意两个值时有

,

若

, 称

时有为

上减函数.

,

称

为

二. 例题精讲

【例1】已知定义域为的函数

(Ⅰ) 求

(Ⅱ) 若对任意的取值范围.

解析：（Ⅰ）因为

是奇函数，所以

=0，

是奇函数.

的值;

, 不等式恒成立, 求的

即

又由f （1）= -f（-1）知

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：

即 ： 整理得

上式对一切

，

，

均成立，

从而判别式

【例2】设函数表示和, 并求

解：依题意有

而

在处取得极值－2, 试用

的单调区间.

故 从而

解得

。

令 由于

，得在

或处取得极值，

。

故

，即。

（1） 若，即，则当时，；

（2） 当

时，；当时，；

从而的单调增区间为；

单调减区间为

若，即，同上可得，

的单调增区间为；单调减区间为

【例3】(理)

设函数

成立, 求实数的取值范围.

(文) 讨论函数

（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a

令g ′(x)＝0，解得x ＝e a －1－1，

(i)当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞) 上是增函数，又g(0)＝0，所以对x ≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f(x)≥ax ．

(ii)当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a －1－1) 是减函数，

又g(0)＝0，所以对0＜x ＜e a －1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f(x)≥ax 成立．综上，a 的取值范围是（－∞，1]．

解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1) －ax ，于是不等式f(x)≥ax 成立即为g(x)≥g(0)成立．

对函数g(x)求导数：g ′(x)＝ln(x＋1) ＋1－a 令g ′(x)＝0，解得x ＝e a

－1

,

若对所有的,

都有

的单调性

－1，

当x ＞e a －1－1时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x ＜e a －1－1，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，

所以要对所有x ≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a －1－1≤0．由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． （文）解：设

，

则

∵ ∴

当 当 当

时，

为常量，无单调性

时，

，则

为减函数

时，

，则

为增函数

，

，

，

【例4】(理) 已知函数 (Ⅰ) 若

(Ⅱ) 若

(文)

已知

求

, 其中的单调性;

为常数.

, 讨论函数

,

且=4,试证:.

为定义在

上的奇函数，当

时，，

的表达式.

（理）

（文）解：∵ 当

∵ ∴

为奇函数 ∴

时，

为奇函数， ∴

∴

三. 巩固练习

1.

已知

值范围是( ) A.

B.

C.

是上的减函数, 那么的取

D.

2.

已知是周期为2的奇函数,

当

则( )

时

, ,

设

A.

3. 下列函数中, 在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )

A.

B. C. D.

B.

C.

D.

4. 若不等式( )

A.0 B. –2 C.- D.-3 5. 设

对于一切

(0,) 成立, 则的取值范围是

是上的任意函数, 则下列叙述正确的是( )

A. C.

6.

已知定义在

上的奇函数

为( )

A. －1 B.0 C.1 D.2

7. 已知函数于直线

对称, 记

的图象与函数

（. 若

且

）的图象关在区间

上

满足

,

则

的值

是偶函数 D.

是偶函数

是奇函数 B.

是奇函数

是增函数, 则实数的取值范围是( ) A.

8.(理)

如果函数

增函数, 那么实数的取值范围是( ) A.

B. C. D.

在区间上是

B. C. D.

9. 对于上可导的任意函数

A. D.

10. 已知 A.

11. 已知函数

12. 已知函数时, 13.

, 则当

是定义在

时, , 若

B.

B.

, 若满足, 则必有( )

C.

, 则( )

C. D.

为奇函数, 则 .

上的偶函数. 当 .

是定义在上的以3为周期的偶函数, 且=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是

,

则方程

( )

A.5 B.4 C.3 D.2

14. 下列函数既是奇函数, 又在区间

上单调递减的是( )

A.

B.

C.

D.

15. 若函数

A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值

C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值

16. 若函数则的取值范围是( ) A. 17. 设

对称, 则

18. 设函数

在

上满足

.

,

,

是定义在上的奇函数, 且

的图象关于直线

______.

B.

C.

D.

在区间

内单调递增,

, 则该函数在

上是( )

且在闭区间［0，7］上, 只有

(Ⅰ) 试判断函数

(Ⅱ) 试求方程证明你的结论.

19. (理) 已知

(1)当为何值时

,

取得最小值？证明你的结论;(2)

设

在

, 函数

=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数, 并

的奇偶性;

[ -1，1]上是单调函数, 求的取值范围.

(文) 已知象关于直线且 (1)求12, 求.

20. 已知函数

处的切线方程为

(1)求函数

为偶函数且定义域为对称, 当

时,

, 的图象与的图

, 为实常数,

.

的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为

的图象过点（0,2）, 且在点.

的解析式;(2)求函数的单调区间.

21. 已知向量

1,1）上是增函数, 求的取值范围.

22. (理) 已知函数

,

,

. 若

,

且

若函数

在区间（－

存在单调递减区间, 求的取值范围.

(文)

已知函数间

巩固练习参考答案

1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8.

在区

上是增函数, 求实数的值.

上是减函数, 且在区间

B 9. C 10. A 11. a=A 16. B 17. 0

12. -x-x 4 13. B 14. D 15.

18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函

数

,

从而知函数

不是奇函数,

的对称轴为

由

从而知函数 故函数

, 的周期为是非奇非偶函数;

又

,

(II)由

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 在[0,2005]上有402个解, 在[-2005.0]上有400个解, 所以函数

19. (理) 解：（I ）对函数 令 解得

当 变化时，

在[-2005,2005]上有802个解.

求导数得

得［+2(1－) －2］=0从而+2(1－) －2=0

、的变化如下表

∴

在=处取得极大值，在=处取得极小值。

当≥0时，数, 而当

时

=.

时，

取得最小值 ，

1,

在

上为减函数，在

上为增函

当x=0时， 所以当

（II ）当≥0时， 即

于是

在，解得

上为单调函数的充要条件是，

，

，

在[-1，1]上为单调函数的充要条件是

即的取值范围是

(文) 解: (1) 先求 设 则点 所以

再根据偶函数的性质, 求当

得关于是

在

上的解析式

上的一点,

的对称点为且

.

上的解析式为

所以 (2) 当 因

时, 所以

时,

因 所以 当 所以

, 所以在

, 所以上为减函数.

而.

时,

因,

因 所以

所以, 所以, 即

在上为增函数

(3) 由(2)知 又因 所以

在

在上为增函数，在上为减函数,

为偶函数, 所以

上的最大值

由

得.

20. 解：（Ⅰ）由 所以

知

由在

处的切线方程是

的图象经过P （0，2），知d=2，

，

故所求的解析式是

（Ⅱ） 解得

当 当 故 在

21. 解法1：依定义

内是减函数，在

内是增函数，

内是增函数.

故要使

.

解法2：依定义

开口向上的抛物线，

在区间（－1，1

）上恒成立

的图象是开口向下的抛物线，

22. (理) 解：

，

则 所以

因为函数h(x)存在单调递减区间，

0时，则ax 2+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax 2+2x－1>0总有x>0的解；

②当a0总有x>0的解；

则△=4+4a>0,且方程ax 2+2x－1=0至少有一正根. 此时，－1

(文) 解：

2007-07-25 人教网

,

,

,

, 当时