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如何理解全增量和全微分的概念?
全增量:
设函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点 P(x,y)P(x,y)的某邻域内有定义,则有P2(x+Δx,y+Δy)P2(x+Δx,y+Δy)为邻域内一点,P与P2P与P2的函数值之差称为函数在点 PP 对应于自变量增量 Δx、ΔyΔx、Δy 的全增量,记做 ΔzΔz:
Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
全微分:
充分条件:
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数∂z∂x、∂z∂y∂z∂x、∂z∂y在点(x,y)(x,y)连续,那么该函数在该点可微分。
**(连续:多元函数的偏导数在一点连续是指:偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,且这个函数求偏导后是连续的,则称函数在某点连续)
必要条件:
如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点x,yx,y可微分,那么该函数在点(x,y)(x,y)的偏导数∂z∂x与∂z∂y∂z∂x与∂z∂y必定存在,且函数z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)的全微分等于它的所有偏微分之和:
dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy=∂z∂xdx+∂z∂ydy
拓展资料
全微分
如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的 全增量 Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y) 可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ), 其中A、B不依赖于Δx, Δy,仅与x,y有关,ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]),此时称函数z=f(x, y)在点(x,y)处 可微分,AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的 全微分,记为dz即 dz=AΔx +BΔy 该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
定义
函数z=f(x, y) 的两个偏导数f'x(x, y), f'y(x, y)分别与自变量的增量Δx, Δy乘积之和
f x(x,y)Δx+f y(x,y)Δy或f'x(x, y)Δx + f'y(x, y)Δy
若该表达式与函数的全增量Δz之差,
是当ρ→0时的高阶无穷小(那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
定理1如果函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)处可微,则z=f(x,y)在p0(x0,y0)处连续,且各个偏导数存在,并且有
f′x(x0,y0)=A,f′y(x0,y0)=B。
定理2若函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)处的偏导数f′x,f′y连续,则函数f在点p0处可微。
基本内容
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义,P‘(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差
f(x+△x,y+△y)- f(x,y)为函数在点P对应自变量△x,△y的全增量,记作△z。