Question

高数大一题？

长方体表面积为6，当长宽高为多少时，体积最大

Answer 1

假设长方体的长为x，宽为y，高为z，那么表面积为6。根据长方体表面积公式，我们可以写出：
2(xy + xz + yz) = 6
要使长方体的体积V = xyz最大，我们需要使用拉格朗日乘数法来解决这个约束优化问题。我们可以将上述公式化简为：
xy + xz + yz = 3
定义拉格朗日函数：
L(x, y, z, λ) = xyz + λ(xy + xz + yz - 3)
对L分别对x, y, z求偏导数，并令偏导数等于0：
∂L/∂x = yz + λ(y + z) = 0
∂L/∂y = xz + λ(x + z) = 0
∂L/∂z = xy + λ(x + y) = 0
解这个方程组，我们可以得到x=y=z和λ的值。根据对称性，长宽高相等的情况下体积最大。将x=y=z代入约束方程xy + xz + yz = 3，我们得到：
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = 1
因此，长宽高都等于1时，长方体的体积最大。在这种情况下，体积V = 111 = 1。

Answer 2

设长方体的长、宽、高分别为 l、w、h，则其表面积为 2lw+2lh+2wh=6，即 lw+lh+wh=3。

根据均值不等式，有：

看图

Answer 3

长方体表面积为6时，长、宽、高分别为1.5、1.5、1时，体积最大，为2.25

Answer 4

大一高数试题及答案一、填空题（每小题1分，共10分）________ 11．函数y＝arcsin√1－x2 ＋ ────── 的定义域为_________√1－ x2_______________。2．函数y＝x＋ex 上点（ 0，1 ）处的切线方程是______________。f（Xo＋2h）－f（Xo－3h）3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ─────────────── ho h＝ _____________。4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是____________。x5．∫─────dx＝_____________。1－x416．lim Xsin───＝___________。x∞ X7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。_______R √R2－x28．累次积分∫ dx ∫ f（X2 ＋ Y2 ）dy 化为极坐标下的累次积分为
____________。0 0d3y 3 d2y9．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。dx3 x dx2∞ ∞10．设级数 ∑ an发散，则级数 ∑ an _______________。n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）（一）每小题1分，共10分11．设函数f（x）＝── ，g（x）＝1－x，则f［g（x）］＝ （ ）x1 1 1①1－ ── ②1＋ ── ③ ──── ④xx x 1－ x12．x0 时，xsin──＋1 是 （ ）x①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量3．下列说法正确的是 （ ）①若f（ X ）在 X＝Xo连续， 则f（ X ）在X＝Xo可导②若f（ X ）在 X＝Xo不可导，则f（ X ）在X＝Xo不连续
③若f（ X ）在 X＝Xo不可微，则f（ X ）在X＝Xo极限不存在④若f（ X ）在 X＝Xo不连续，则f（ X ）在X＝Xo不可导4．若在区间（a，b）内恒有f'（x）〈0，f"（x）〉0，则在（a，b）内曲线弧y＝f（x）为 （ ）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧5．设F'(x) ＝ G'(x)，则 （ ）① F(X)＋G(X) 为常数② F(X)－G(X) 为常数③ F(X)－G(X) ＝0d d④ ──∫F（x）dx ＝ ──∫G（x）dxdx dx16．∫ │x│dx ＝ （ ）-1① 0 ② 1 ③ 2 ④ 37．方程2x＋3y＝1在空间表示的图形是 （ ）①平行于xoy面的平面②平行于oz轴的平面③过oz轴的平面④直线x8．设f（x，y）＝x3 ＋ y3 ＋ x2 ytg── ，则f（tx，ty）＝ （ ）y①tf（x，y） ②t2f（x，y）1③t3f（x，y） ④ ──f（x，y）t2
an＋1 ∞9．设an≥0，且lim ───── ＝p，则级数 ∑an （ ）n∞ a n=1①在p〉1时收敛，p〈1时发散②在p≥1时收敛，p〈1时发散③在p≤1时收敛，p〉1时发散④在p〈1时收敛，p〉1时发散10．方程 y'＋3xy＝6x2y 是 （ ）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题2分，共20分11．下列函数中为偶函数的是 （ ）①y＝ex ②y＝x3＋1③y＝x3cosx ④y＝ln│x│12．设f（x）在（a，b）可导，a〈x1〈x2〈b，则至少有一点ζ∈（a，b）使（ ）①f（b）－f（a）＝f'（ζ）（b－a）②f（b）－f（a）＝f'（ζ）（x2－x1）③f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（b－a）④f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（x2－x1）13．设f（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是f（X）在 X＝Xo 可导的 （ ）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件d14．设2f（x）cosx＝──［f（x）］2 ，则f（0）＝1，则f（x）＝ （ ）
dx①cosx ②2－cosx ③1＋sinx ④1－sinx15．过点（1，2）且切线斜率为 4x3 的曲线方程为y＝ （ ）①x4 ②x4＋c ③x4＋1 ④x4－11 x16．lim ─── ∫ 3tgt2dt＝ （ ）x0 x3 01① 0 ② 1 ③ ── ④ ∞3xy17．lim xysin ───── ＝ （ ）x0 x2＋y2y0① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin118．对微分方程 y"＝f（y，y'），降阶的方法是 （ ）① 设y'＝p，则 y"＝p'dp② 设y'＝p，则 y"＝ ─── dy
dp③ 设y'＝p，则 y"＝p───dy1 dp④ 设y'＝p，则 y"＝── ───p dy∞ ∞19．设幂级数 ∑ anxn在xo（xo≠0）收敛， 则 ∑ anxn 在│x│〈│xo│（ ）n=o n=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an有关sinx20．设D域由y＝x，y＝x2所围成，则∫∫ ─────dσ＝ （ ）D x1 1 sinx① ∫ dx ∫ ───── dy0 x x__1 √y sinx② ∫ dy ∫ ─────dx0 y x__1 √x sinx
③ ∫ dx ∫ ─────dy0 x x__1 √x sinx④ ∫ dy ∫ ─────dx0 x x三、计算题（每小题5分，共45分）___________／ x－11．设 y＝ ／ ────── 求 y' 。√ x（x＋3）sin（9x2－16）2．求 lim ─────────── 。x4/3 3x－4dx3．计算 ∫ ─────── 。（1＋ex ）2t 1 dy4．设 x＝ ∫（cosu）arctgudu，y＝∫（sinu）arctgudu，求 ─── 。0 t dx5．求过点 A（2，1，－1），B（1，1，2）的直线方程。___6．设 u＝ex＋√y ＋sinz，求 du 。x asinθ
7．计算 ∫ ∫ rsinθdrdθ 。0 0y＋18．求微分方程 dy＝（ ──── ）2dx 通解 。x＋139．将 f（x）＝ ───────── 展成的幂级数 。（1－x）（2＋x）四、应用和证明题（共15分）1．（8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为k〉0 ）求速度与时间的关系。___ 12．（7分）借助于函数的单调性证明：当x〉1时，2√x 〉3－ ── 。x附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题1分，共10分）1．（－1，1）2．2x－y＋1＝03．5A4．y＝x2＋115．──arctgx2＋c26．17．ycos（xy）π/2 π8．∫ dθ ∫ f（r2）rdr0 09．三阶10．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）（一）每小题1分，共10分
1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．②6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③（二）每小题2分，共20分11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③16．② 17．① 18．③ 19．① 20．②三、计算题（每小题5分，共45分）11．解：lny＝──［ln（x－1）－lnx－ln（x＋3）］ （2分）21 1 1 1 1──y'＝──（────－──－────） （2分）y 2 x－1 x x＋3__________1 ／ x－1 1 1 1y'＝── ／──────（────－──－────） （1分）2 √ x（x＋3） x－1 x x＋318xcos（9x2－16）2．解：原式＝lim ──────────────── （3分）x4/3 3
18（4／3）cos［9（4／3）2－16］＝ ────────────────────── ＝8 （2分）31＋ex－ex3．解：原式＝∫───────dx （2分）（1＋ex）2dx d（1＋ex）＝∫─────－∫─────── （1分）1＋ex （1＋ex）21＋ex－ex 1＝∫───────dx ＋ ───── （1分）1＋ex 1＋ex1＝x－ln（1＋ex）＋ ───── ＋ c （1分）1＋ex4．解：因为dx＝（cost）arctgtdt，dy＝－（sint）arctgtdt （3分）dy －（sint）arctgtdt所以 ─── ＝ ──────────────── ＝ －tgt （2分）dx （cost）arctgtdt
5．解：所求直线的方向数为｛1，0，－3｝ （3分）x－1 y－1 z－2所求直线方程为 ────＝────＝──── （2分）1 0 －3__ __6．解：du＝ex +√y + sinzd（x＋√y ＋sinx） （3分）__ 一、D C A C AB C C B AD A B A DA D B D A二课程代码：00020一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设函数（ 　）A. B. C. D. 2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ 　）A.x+3 B.x-3C.2x D.-2x3.（ 　）A.e B.e-1 C. D.14.函数的连续区间是（ 　）A. B. C. D. 5.设函数在x=-1连续,则a=（ 　）A.1 B.-1 C.2 D.06.设y=lnsinx,则dy=（ 　）A.-cotx dx B.cotx dxC.-tanx dx D.tanx dx7.设y=ax(a>0,a1),则y(n)（ 　）A.0 B.1C.lna D.(lna)n8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ 　）A. B. C. D. 9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（ 　）A.单调减小 B.单调增加C.不增不减 D.有增有减
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大一高数试题及答案[1]
大一高数试题及答案
一、填空题（每小题1分，共10分）
________ 1
1．函数y＝arcsin√1－x2 ＋ ────── 的定义域为
_________
√1－ x2
_______________。
2．函数y＝x＋ex 上点（ 0，1 ）处的切线方程是______________。
第 1 页
f（Xo＋2h）－f（Xo－3h）
3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ───────────────
ho h
＝ _____________。
4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是
____________。
x
第 2 页
5．∫─────dx＝_____________。
1－x4
1
6．lim Xsin───＝___________。
x∞ X
7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。
_______
R √R2－x2
第 3 页
8．累次积分∫ dx ∫ f（X2 ＋ Y2 ）dy 化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
d3y 3 d2y
9．微分方程─── ＋ ──（─── ）2 的阶数为____________。
dx3 x dx2
∞ ∞
10．设级数 ∑ an发散，则级数 ∑ an _______________。
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n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，
1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）
（一）每小题1分，共10分
1
1．设函数f（x）＝── ，g（x）＝1－x，则f［g（x）］＝ （ ）
x