Question

求积分和通解

Answer 1

解：先求齐次方程x(dy/dx)=y的通解：

分离变量得  dy/y=dx/x；积分之得  lny=lnx+lnc₁=lnc₁x

故齐次方程的通解为 y=c₁x

将c₁换成x的函数u，得y=ux............(1)

将(1)两边对x取导数得  dy/dx=u+x(du/dx)............(2)

将(1)和(2)代入原式得：

xu+x²(du/dx)=ux+x²

化简得x²(du/dx)=x²

即有du/dx=1,  du=dx；故u=x+c

代入(1)式即得原方程的通解为  y=x²+cx.