Question

设0＜a＜1，证明f（x）=sin（x∧a）是一致收敛的？

Answer 1

这是一个有趣的数学问题！我们可以使用Weierstrass M-test来证明f(x) = sin(x^a)的一致收敛性。

首先，我们需要找到一个上界函数M(x)，使得对于所有的x，都有|f(x)| <= M(x)。考虑到sin函数的取值范围在[-1, 1]之间，我们可以得出：

|f(x)| = |sin(x^a)| <= 1

因此，我们可以取M(x) = 1作为上界函数。

接下来，我们需要证明M(x)在定义域上的收敛性。由于0 < a < 1，那么当x趋近于0时，我们可以得出：

lim(x->0) x^a = 0

因此，我们可以得到：

lim(x->0) M(x) = lim(x->0) 1 = 1

也就是说，M(x)在x趋近于0时收敛于1。而对于整个定义域，由于M(x)恒为1，因此其显然是收敛的。

最后，我们需要证明M(x)的收敛性与f(x)的一致收敛性等价。根据Weierstrass M-test定理，如果我们可以找到一个收敛的M(x)，使得对于所有的x和n，都满足|f_n(x)| <= M(x)，那么函数序列f_n(x)就在定义域上一致收敛于f(x)。

在这个问题中，我们已经找到了恒为1的上界函数M(x)，并证明了它在定义域上的收敛性。而对于f(x) = sin(x^a)，根据三角函数的连续性和复合函数的连续性，我们可以得出：当x趋近于任意实数时，f(x)也会趋近于0。因此，对于所有的x和n，都有：

|f_n(x)| = |sin(x^a)| <= 1 = M(x)

这就满足了Weierstrass M-test的条件，证明了f(x)在定义域上的一致收敛性。

希望这个解答能够帮助你理解问题。如果需要进一步的解释或者有其他问题，请随时问我！

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Answer 2

为了证明 $f(x)=\sin(x^a)$ 在区间 $[0, 1]$ 上一致收敛，需要利用 Weierstrass 判别法。具体来说，我们需要证明：

对于任意 $\epsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得对于任意 $n\geq N$，都有 $|\sin(x^a)-\sin(y^a)|<\epsilon$ 对于所有 $x, y\in[0, 1]$ 成立。
对于任意 $x\in[0, 1]$，$\lim_{n\rightarrow\infty} \sin(x^a)$ 存在且有限。
对于第一条性质，我们首先注意到对于任意 $x, y\in[0, 1]$，有：

∣
sin
⁡
(
x
a
)
−
sin
⁡
(
y
a
)
∣
≤
∣
x
a
−
y
a
∣
∣sin(x
a
)−sin(y
a
)∣≤∣x
a
−y
a
∣

这是因为 $\sin(x)$ 在 $[0, 1]$ 上的导数不超过 $1$，因此有：

∣
sin
⁡
(
x
a
)
−
sin
⁡
(
y
a
)
∣
=
∣
sin
⁡
(
x
a
−
y
a
)
⋅
sin
⁡
[
(
x
a
+
y
a
)
/
2
]
∣
≤
∣
x
a
−
y
a
∣
∣sin(x
a
)−sin(y
a
)∣=∣sin(x
a
−y
a
)⋅sin[(x
a
+y
a
)/2]∣≤∣x
a
−y
a
∣

因此，我们只需要证明 $|x^a-y^a|<\epsilon$ 对于所有 $x, y\in[0, 1]$ 成立即可。实际上，当 $a\in(0, 1)$ 时，对于任意 $\epsilon>0$，我们都可以找到一个正整数 $N$，使得 $N>\epsilon^{-1/a}$。于是，对于任意 $n\geq N$，都有：

∣
x
a
−
y
a
∣
≤
∣
x
−
y
∣
a
<
1
n
a
<
ϵ
∣x
a
−y
a
∣≤∣x−y∣
a
<
n
a

1
​
<ϵ

这里用到了 $|x-y|<1$ 的事实。因此，我们证明了 $f(x)=\sin(x^a)$ 在区间 $[0, 1]$ 上一致收敛。

对于第二条性质，注意到 $\sin(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，因此 $\lim_{n\rightarrow\infty} \sin(x^a)=\sin(0)=0$ 对于所有 $x\in[0, 1]$ 成立。因此，我们证明了 $f(x)=\sin(x^a)$ 在区间 $[0, 1]$ 上一致收敛且其极限函数是 $f(x)=0$。