Question

线性代数 如图第五题求证

第五题求证

Answer 1

显然ξ1，ξ2中至少有1个零向量时，ξ1，ξ2均与向量组αi正交，ξ1，ξ2之间显然线性相关。
因此下面只需讨论ξ1，ξ2都不是零向量的情况：
此时，ξ1，ξ2都不能被向量组αi线性表示（即与向量组αi是线性无关）
（用反证法：否则求ξ1的内积，ξ1⋅ξ1=(∑kiai)^2=∑kikjaiaj=0，因此ξ1=0，出现矛盾！同理，ξ2也不能被向量组αi线性表示）

也即向量组ξ1，αi中的向量线性无关，此向量组的秩是n，因此是n维向量空间的一组基
同理，向量组ξ2，αi也是一组基

则向量ξ2，可以用向量组ξ1，αi，线性表示：
ξ2=k0ξ1+∑kiai【1】其中k0不为0（否则ξ2与向量组ai线性相关，得出矛盾！）

则
(ξ2-k0ξ1)^2
=(ξ2-k0ξ1)(ξ2-k0ξ1)
=(ξ2-k0ξ1)∑kiai
=∑kiξ2ai-k0∑kiξ1ai
=∑ki*0-k0∑ki*0
=0-0
=0

则ξ2-k0ξ1=0
注意到【1】k0不等于0，则ξ1，ξ2线性相关

Answer 2

与a_1,...,a_{n-1}同时正交的向量全体构成1维线性空间