Question

线性代数问题，求解答，关于齐次方程解向量的问题

Answer 1

齐次线性方程组，所谓齐次的意思就是等号右边都是0，每个方程都没有常数项。所以齐次线性方程组必然有一个解是零解（即所有的未知数都是0），我们都知道，如果方程的个数小于未知数的个数，那么这个方程就有无数个解，而这无数个解都可以由几个线性无关的解之间的线性组合来表示，我们把这几个线性无关的解称为通解或者基础解（系）。那么这个基础解到底要怎么确定呢，基础解系中到底有几个线性无关的解（又称向量）呢，这个是有公式的：基础解系中的向量个数=未知数的个数（也就是系数矩阵的列数）-R（A）（也就是系数矩阵的秩）。

追问

解向量和基础解系有什么联系吗？

追答

首先说解向量与基础解系的联系，所谓基础解系就是根基，是基础，是根本。解向量只是一个解或者某个解，所有的解向量（有无数个）都可以用基础解系的线性组合来表示。再说如果x1和x2是非齐次的解，那么为什么x1+x2是对应的齐次的基础解系。首先你这个结论是错误的，x1-x2才是对应的齐次的解，而不是基础解系。举个例子，ax1
=b，ax2=b，两个相减是不是就有a（x1-x2）=0了呢，所以呀x1-x2才是对应的齐次的解，那么为什么不是基础解系呢？？因为一来你要确定基础解系中到底有多少个线性无关的向量，在确定到底基础解系是什么，因此，x1-x2其实只是基础解系中的一个向量而已，到底有没有别的向量，需要根据具体的题目去看。

追问

嗯明白了很谢谢你

Answer 2

η1、η2、η3都是Ax=b的解向量，
∴ Aη1=b
Aη2=b
Aη3=b
∴ A(η1-η2)=Aη1-Aη2=0
同理，A(η1-η3)=0
∴ A(η1-η2)+A(η1-η3)=0
即：A(2η1-η2-η3)=0
∴ 2η1-η2-η3是Ax=0的解向量
又因为R(A)=3，n=4
所以，Ax=0的基础解系中有解向量
4-3=1（个）
∴ Ax=0的基础解系中的解向量可以就是
2η1-η2-η3=（3，4，5，6）^T

追问

基础解系和解向量有什么联系吗？

追答

你追问的图片上的理解错了

追问

解释一下行吗？

追答

(1)齐次线性方程组才有基础解系

(2) 齐次线性方程组的基础解系是它所有解的最大无关组，齐次方程组的任意解都可以用基础解系来表示，

追问

那两个解向量的差就是基础解系？为什么

追答

(3)基础解系中解向量的个数为
n-R(A)
本题中， R(A)=3，n=4
所以，基础解系中仅含一个解向量

(4)既然只有一个解向量，
那么我们找到Ax=0的一个非零解即可，
我前面的过程已经很好的证明了
2η1-(η2+η3)
就是要求的那个非零解了

追问

你说的这些我都懂，只是为什么这个题目中两个解向量减一下就变基础解系了？

追答

η1、η2、η3都是Ax=b的解向量，
∴ Aη1=b
Aη2=b
Aη3=b
∴ A(η1-η2)=Aη1-Aη2=0
同理，A(η1-η3)=0
这里你明白吗

追问

懂

追答

∴ A(η1-η2)+A(η1-η3)=0
即：A(2η1-η2-η3)=0
∴ 2η1-η2-η3是Ax=0的解向量
这里呢？

追问

嗯懂

追答

又因为R(A)=3，n=4
所以，Ax=0的基础解系中有解向量
4-3=1（个）

2η1-η2-η3=（3，4，5，6）^T
这不是零向量，

∴ Ax=0的基础解系中的解向量可以就是
2η1-η2-η3=（3，4，5，6）^T

追问

行我自己再想想，很谢谢你的耐心解答

明白啦！！

Answer 3

四元非齐次方程的系数矩阵秩A为3，则对应的齐次方程的解向量个数为n-r(A)=4-3=1,
非齐次方程有三个解向量，说明非齐次方程有解且系数矩阵与增广矩阵秩相同，故非齐次方程的结构解为齐次方程的基础解系+特解构成

追问

追答

应该是减吧

追问

？什么意思啊

减和加有区别吗？

追答

手打字母不方便，用数字简单说了，1-2是齐次方程的基础解系

追问

解向量和基础解系有什么联系吗？

追答

记不清了，好像是所有解向量可以由基础解系表出，工科概念无能啊

追问

题目中是两个解向量减一下就变基础解系了

真的好纠结

追答

？
手写的那张吗？
手写的第一句正确，第二句应该是减式才对

追问

那就算是减，还是不懂为什么两个解向量相减就是基础解系

追答

这样说吧一个非其次方程有两个解a1和a2，代入，相减，等式右边=0，那么整理左边，a1-a2是不是齐次方程的解？

追问

对