Question

几道高二数学不等式的证明题

一,用综合法证明下列不等式:
№1:设a,b∈R,求证:a^2+b^2≥2(ab+a-b)-1
№2:证明(a/根号b)+(b/根号a)≥根号a+根号b,其中a>0,b>0
№3:若a>0,b>0,且2a+b=1，求证:1/a+1/b≥3+2*根号2

二,证明下列不等式
№1:若x,y,m,n∈R+,且x>m+n,y>m+n,求证:xy>mx+ny
№2:已知为a,b,c△ABC的三边,求证2a^2+2b^2-c^2>0
№3:设m等于│a│,│b│和1中最大的一个,当│x│>m时,求证│a/x+b/x^2│<2

Answer 1

一
No.1 a^2+b^2-2ab-2(a-b)+1=[(a-b)-1]^2≥0,移项整理得所要证明结论。

No.2 (a/根号b)-根号b+(b/根号a)-根号a=(1/根号b)*(a-b)-(1/根号a)*(a-b)=[(1/根号b))-(1/根号a)]*(a-b)=(根号a-根号b)^2*(根号a+根号b)/根号ab≥0,移项整理得所要证明结论。

No.3 1/a+1/b=(2a+b)*(1/a+1/b)=3+b/a+2a/b≥3+2*根号2

二
No.1 (mx+ny)/xy=m/y+n/x<m/(m+n)+n/(m+n)=1,两边同时乘以xy，则原命题得证

No.2 由余弦公式：a^2+b^2-2abCOSC=c^2得2a^2+2b^2-c^2=a^2+b^2+2abCOSC=(a-b)^2+2ab*(1+COSC)>0{说明a>0,b>0,1+COSC>0}所以原命题得证

No.3 │a/x+b/x^2│<=│a/x│+│b/x^2│
因为│x│>m≥│a│,│x│>m≥│b│,│x│>m≥1
所以│a/x│<1,│b/x^2│=│b/x│*│1/x│<1
所以│a/x+b/x^2│<2,原命题得证。