Question

已知非齐次线性方程组有无穷多解，求 a 的值，并求方程组的通解

Answer 1

记 yk = (xk)^2, k = 1, 2. 3. 系数矩阵行列式 |A| =
|a 1 1|
|1 a 1|
|1 1 a|
|A| =
|a+2 1 1|
|a+2 a 1|
|a+2 1 a|
|A| =
|a+2 1 1|
| 0 a-1 0|
| 0 0 a-1|
= (a+2)(a-1)^2
非齐次线性方程组有无穷多解, 得 a = -2 或 1。
a = -2 时， 增广矩阵 （A，b）=
[-2 1 1 -3]
[ 1 -2 1 0]
[ 1 1 -2 3]
交换 1， 2 行后， 初等行变换为
[ 1 -2 1 0]
[ 0 -3 3 -3]
[ 0 3 -3 3]
初等行变换为
[ 1 0 -1 2]
[ 0 1 -1 1]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 此时方程组有无穷多解·,
方程组化为
y1 = y3 + 2
y2 = y3 + 1
通解是 y = k(1, 1, 1)^T + (2, 1, 0)^T.
a = 1 时， 增广矩阵 （A，b）=
[ 1 1 1 -3]
[ 1 1 1 0]
[ 1 1 1 3]
初等行变换为
[ 1 1 1 -3]
[ 0 0 0 3]
[ 0 0 0 6]
初等行变换为
[ 1 1 1 0]
[ 0 0 0 1]
[ 0 0 0 0]
r(A, b) = 2, r(A) = 1, 方程组无解。