Question

如何理解二元函数可微可导连续之间的关系？

Answer 1

二元函数可微可导连续之间的关系如下：

“连续不一定有偏导,更不一定可微,有偏导不一定连续,也不一定可微,可微则偏导存在,有连续的偏导一定可微(充分条件)。

通过实例说明

连续不一定偏导存在，偏导存在也不一定连续

1、证明函数f（x，y）=在原点的连续性，但偏导数不存在。

证明：由=0=f（0，0），故f（x，y）=在点（0，0）连续.由偏导定义知：==1当x＞0-1当x＜0极限不存在.故f（x，y）在点（0，0）关于x的偏导数不存在，同理可证f（x，y）在点（0，0）关于y的偏导数也不存在。

2、证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不连续.

证明：由偏导定义得：f（x，y）==0，f（x，y）==0

故f（x，y）在点（0，0）处偏导存在.取y=mx（m≠0），则f（x，y）=f（x，mx）

故f（x，y）在点（0，0）处极限不存在，故不连续.

由此两例可知，对于二元函数而言，偏导存在和连续之间没有必然的联系。