Question

用二重积分表示平面x+y+z=1与三个坐标面所围成立体的体积

Answer 1

解题过程如下：

∫∫(1-x-y)dxdy

所求体积＝SdxS（1－x－y）dy

＝S［（1－x）2／2］dx

＝（1／2）（1／3）

＝1／6

性质：

数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

Answer 2

∫∫(1-x-y)dxdy

所求体积＝SdxS（1－x－y）dy

＝S［（1－x）2／2］dx

＝（1／2）（1／3）

＝1／6。

扩展资料

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

Answer 3

积分区域 Ω x+y+z=1

∫∫∫dxdydy

四面体的体积=∫dx∫(1-x-y)dy

=∫{[(1-x)y-y²/2]│}dx

=∫[(1-x)²/2]dx

=[(1/2)(-1/3)(1-x)³]│

=1/6

或者

平面x+y+z=1与x，y,z轴交点分别为（du1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），三个坐标面及平面x+y+z=1

围成一个四面体，三个面两两垂直且为直角边=1的等腰直角三角形，

三个坐标面及平面x+y+z=1

所围成的闭区域的体积=(1/3)×(1/2)×1×1×1=1/6

扩展资料：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

参考资料来源：百度百科-二重积分

Answer 4

所求体积=∫dx∫(1-x-y)dy
=∫[(1-x)²/2]dx
=(1/2)(1/3)
=1/6.
希望能帮到你