Question

线性方程组ax=0的非零解有什么条件？

Answer 1

AX＝0 有非零解，说明 A 的列向量组线性相关，而列向量组线性相关的矩阵是奇异阵(不可逆)，行列式为 0。

适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹，以及马克劳林亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高，对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。

用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

不确定的情况

当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。

克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。

对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。

然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x+y+z=1，x+y+z=2，x+y+z=3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。

以上内容参考：百度百科——克拉默法则